Semi-analytical Approach for Free Vibration Analysis of Variable Cross-section Beams Resting on Elastic Foundation and under Axial Force

در اين مقاله ارتعاشات آزاد تير اويلر-برنولي داراي سطح مقطع متغير مستقر بر بستر الاستيك و تحت اثر بار كششي محوري مورد بررسي قرار مي گيرد. ارتفاع تير ثابت در نظر گرفته شده و عرض آن به صورت نمايي تغيير مي كند. تحليل براي سه حالات مختلف شرايط مرزي شامل دو سر گيردار، دو سر مفصل و يك سر گيردار-يك سر آزاد انجام شده است. بعد از آنكه معادله ارتعاشات آزاد تير مورد بررسي استخراج شد، فركانس هاي بدون بعد با استفاده از روش تبديل ديفرانسيلي به دست مي آيند. روش تبديل ديفرانسيلي يك روش نيمه تحليلي مبتني بر بسط سري تيلور مي باشد كه به راحتي مي تواند براي حل انواع معادلات ديفرانسيل معمولي و مشتقات جزيي به كار رود. تاثير نيروي محوري، ضريب بستر الاستيك و پارامتر متناظر با تغييرات سطح مقطع بر فركانس هاي بدون بعد بررسي شده است و در مواردي كه در ساير منابع تحليل مشابهي صورت گرفته است، مقايسه بين نتايج انجام شده است. نتايج نشان مي دهد روش تبديل ديفرانسيلي داراي همگرايي سريع بوده و قادر به محاسبه تمام فركانس ها مي باشد اگرچه سرعت همگرايي آن از شرايط تكيه گاهي اثر مي پذيرد. همچنين فركانس هاي بدون بعد حساسيت بيشتري نسبت به نيروي محوري از خود نشان مي دهند.

In this paper, free vibration of an Euler-Bernoulli beam with variable cross-section resting on elastic foundation and under axial tensile force is considered. Beam’s constant height and exponentially varying width yields variable cross-section. The problem is handled for three different boundary conditions: clamped-clamped, simply supported-simply supported and clamp-free beams. First, the equation of motion that governs the free vibration is derived and then dimensionless frequencies are determined using differential transform method (DTM). DTM is a semi-analytical approach based on Taylor expansion series that is a powerful tool in solution ordinary and partial differential equations. The effects of axial force, elastic foundation coefficient and non-uniformity parameter on dimensionless frequencies are investigated. Wherever possible, comparisons are made with the studies in open literature. Results show, the DTM yields rapid convergence without any frequency missing although convergence rate depends on boundary conditions. Also, dimensionless frequencies are sensitive to axial force rather than other parameters.