Base de la série la plus continue de fonctions généralisées sphériques surGC/GR

Résumé n groupe de Lie semi-simple complexe connexe et simplement connexe dʹalgèbre de Lie g. SoitHune forme réelle deGdʹalgèbre de Lie h. On suppose que h admet une sous-algèbre de Cartan de type compact t. Pour un élément régulierλdu dual de t, on construit une base de lʹespace des fonctions généralisées sphériques surG/Hpropres sous lʹaction de lʹalgèbre des opérateurs différentielsG-invariants surG/Hpour le caractère défini parλ. On étudie ensuite le prolongement méromorphe enλet la croissance des éléments de cette base. Ces fonctions généralisées sont ensuite exprimées en terme de coefficients de représentations deG. Ces résultats sont généralisés à dʹautres séries de fonctions généralisées sphériques. a complex, connected and simply connected semisimple Lie group with Lie algebra g. LetHbe a real form ofGwith Lie algebra h. We suppose that h admits a Cartan subalgebra t of compact type. For a regular elementλof the dual of h, we construct a basis of the space of spherical generalized functionsFsuch that, for allG-invariant differential operatorDonG/H, we haveD.F=χλ(D) F, whereχλis the character defined byλ. Then, we study the meromorphic continuation and the growth of the element of this basis. We give these functions in terms of coefficients of representations ofG. These results are generalized to other series of spherical generalized functions.