Couple assorti de systèmes de Kac et inclusions de facteurs de typeII1

Résumé Lune inclusion irréductible dʹindice fini de facteurs de typeII1, on suppose queLest engendré par les sous-facteurs intermédiairesMetNrespectivement isomorphes aux produits croisés deKpar les algèbres de Kac A et B. On donne des conditions pour quʹil existe une inversionTsur A et B telle queLsoit isomorphe au produit croisé deKpar leT-produit tensoriel de A et B. LʹinversionTpermet de définir une action à gaucheγbde B sur A et une action à droiteγade A sur B,MetNsont alors respectivement isomorphes au produit croisé deKBpar A⋊γbB et deKApar B⋊γaA. Réciproquement, si leT-produit tensoriel de deux algèbres de Kac A et B de dimension finie agit sur un facteurKde typeII1par une action extérieureδ, lʹinclusionδ(K)⊂K⋊δ(A⊗TB) remplit ces conditions et on obtient un carré bicommutatif de facteurs. LetK⊂Lbe a irreducible inclusion of typeII1factors with finite indice. We assume thatLis generated by the intermediate subfactorsMandNwhich are respectively isomorphic to the crossed product ofKby the Kac algebras A and B. We give conditions so that there is an inversionTon A and B such thatLis isomorphic to the crossed product ofKby theT-tensor product of A and B. The inversionTdefines a left actionγbof B on A and a right actionγaof A on B; thenMandNare respectively isomorphic to the crossed product ofKBby A⋊γbB and ofKAby B⋊γaA. Conversely, if theT-tensor product of two Kac algebras A and B of finite dimension acts on aII1-factorKby an outer actionδ, the inclusionδ(K)⊂K⋊δ(A⊗TB) fulfills these conditions and we get a bicommutative square of factors.