Formules de distance au spectre généralisé et au spectre semi-Fredholm

Pour un opérateur borné T dʹun espace de Hilbert H dans lui-même, nous montrons que si 0∉σg(T), le spectre généralisé de T, alorsdist(0,σg(T))=sup{γ(XTX−1);X,X−1∈B(H)}=sup{γ(XTX−1);0⩽X,X−1∈B(H)}=sup{γ(eATe−A);A=A*∈B(H)} où dist(0,σg(T)) est la distance de zéro à σg(T) et γ(T) désigne la conorme de T. Dans le cas où T est semi-Fredholm, on trouve les formules de distances suivantes:dist(0,σSF(T))=sup{γe(XTX−1);X,X−1∈B(H)}=sup{γe(XTX−1);0⩽X,X−1∈B(H)}=sup{γe(eATe−A);A=A*∈B(H)} où σSF(T) et γe(T) dénote respectivement le spectre semi-Fredholm et la conorme essentielle de T. Nous montrons aussi que si T est un opérateur borné dʹun espace de Banach E dans lui-même et si 0∈σ(T), le spectre de T, est un pôle dʹordre d⩾1 de la résolvante de T alors il existe S∈B(E) inverse généralisé de Td (i.e. TdSTd=Td) commutant avec T et tel quedist(0,σ(T)\{0})=1r(S)1d où r(S) désigne le rayon spectral de S. Dans cette formule, prendre S=0 et dist(0,σ(T)\{0})=∞ si T est nilpotent.