Embedding of the lattice of ideals of a ring into its lattice of fuzzy ideals

نشان مي دهيم كه مشبكه همه ايده آلهاي يك حلقهR را مي توان، به تعداد روشهاي ناشمارا، بتوي مشبكه همه ايده آلهاي فازي آن نشاند. براي اين منظور، مفهوم تابع مشخصه تعميم يافته يك زير مجموعه A از حلقه R، ، براي هر زوج ثابت ، را معرفي و نشان مي دهيم A يك ايده آل از R است اگر و فقط اگر تابع مشخصه تعميم يافته آن، ، يك ايده آل فازي از R باشد. همچنين، نشان مي دهيم مجموعه همه توابع مشخصه تعميم يافته اعضاي I(R)، ، بازاي يك زوج ثابت ، يك زير مشبكه كامل از مشبكه ايده آلهاي فازي R است. ثابت مي كنيم كه مشبكه ايده آلهاي فازي R بوسيله اجتماع همه زير مشبكه هاي كامل توليد مي شود.

We show that the lattice of all ideals of a ring $R$ can be embedded in the lattice of all its fuzzy ideals in uncountably many ways. For this purpose, we introduce the concept of the generalized characteristic function $\chi _{s}^{r} (A)$ of a subset $A$ of a ring $R$ for fixed $r , s\in [0,1] $ and show that $A$ is an ideal of $R$ if, and only if, its generalized characteristic function $\chi _{s}^{r} (A)$ is a fuzzy ideal of $R$. We also show that the set of all generalized characteristic functions $C_{s}^{r} (I(R))$ of the members of $I(R)$ for fixed $r , s\in [0,1] $ is a complete sublattice of the lattice of all fuzzy ideals of $R$ and establish that this latter lattice is generated by the union of all its complete sublattices $C_{s}^{r} (I(R))$.