Exact and approximate solutions of fuzzy LR linear systems: New algorithms using a least squares model and the ABS approach

يك راهكار اسلوب مند براي توصيف و رهيافتي براي محاسبه جوابهاي دستگاههاي خطي فازي با متغيرهاي فازي LR ارايه مي‌كنيم. براي جوابها، جوابهاي دقيق و تقريبي را در نظر مي‌گيريم. دستگاه خطي فازي را به يك دستگاه خطي قطعي وابسته و يك مساله كمترين مربعات مقيد تبديل مي‌كنيم. اگر دستگاه خطي وابسته ناسازگار باشد، آنگاه دستگاه فازيLR جواب دقيق ندارد. نشان مي‌دهيم كه دستگاه فازي LR يك جواب دقيق دارد اگر و تنها اگر دستگاه قطعي وابسته سازگار (داراي جواب) و مقدار بهينه مساله كمترين مربعات وابسته برابر صفر باشد. در اين حالت، جواب دقيق با حل دو مساله وابسته بدست مي‌آيد. از سوي ديگر، اگر دستگاه خطي وابسته سازگار ولي مقدار بهينه مساله كمترين مربعات وابسته ناصفر باشد، آنگاه جوابهاي تقريبي دستگاه فازي را با حل مساله كمترين مربعات توصيف مي‌كنيم. به علاوه، جواب‌ها را با يك تابع عضويت مناسب نيز توصيف مي‌كنيم به گونه‌اي كه جواب دقيق يك بردار فازي LR ، مقدار عضويت برابر يك، و زماني كه جواب دقيق وجود ندارد، جواب تقريبي يك بردار فازي LR با مقدار عضويت ماكسيمال باشد. براي حل دستگاه فازي LR رده‌اي از الگوريتمهاي مبتني بر الگوريتمABS ارايه مي‌كنيم. الگوريتمها‌ي پيشنهادي را مي‌توان براي حل دوگان تعميم يافته دستگاههاي خطي فازي نيز به كار برد. سرانجام، نشان مي‌دهيم كه وقتي دستگاه بيش از يك جواب داشته باشد، الگوريتمهاي پيشنهادي براي محاسبه جوابهاي ويژه انعطاف لازم را داراست. براي مشاهده سناريوهاي گوناگون به عنوان جوابهاي دستگاه هاي خطي فازي LR ، به حل و بررسي چند مثال مي‌پردازيم.

We present a methodology for characterization and an approach for computing the solutions of fuzzy linear systems with LR fuzzy variables. As solutions, notions of exact and approximate solutions are considered. We transform the fuzzy linear system into a corresponding linear crisp system and a constrained least squares problem. If the corresponding crisp system is incompatible, then the fuzzy LR system lacks exact solutions. We show that the fuzzy LR system has an exact solution if and only if the corresponding crisp system is compatible (has a solution) and the solution of the corresponding least squares problem is equal to zero. In this case, the exact solution is determined by the solutions of the two corresponding problems. On the other hand, if the corresponding crisp system is compatible and the optimal value of the corresponding constrained least squares problem is nonzero, then we characterize approximate solutions of the fuzzy system by solution of the least squares problem. Also, we characterize solutions by defining an appropriate membership function so that an exact solution is a fuzzy LR vector having the membership function value equal to one and, when an exact solution does not exist, an approximate solution is a fuzzy LR vector with a maximal membership function value. We propose a class of algorithms based on ABS algorithm for solving the LR fuzzy systems. The proposed algorithms can also be used to solve the extended dual fuzzy linear systems. Finally, we show that, when the system has more than one solution, the proposed algorithms are flexible enough to compute special solutions of interest. Several examples are worked out to demonstrate the various possible scenarios for the solutions of fuzzy LR linear systems.