Solution of fuzzy differential equations

سيستم ھيبريدي يك سيستم پويا است كه نشان دھنده ھر دو رفتار ديناميكي پيوسته و گسسته است. معادلات ديفرانسيل ھيبريدي كاربردھاي گسترده اي در علوم و مھندسي دارد. سيستم ھاي ھيبريدي به مدل سازي، طراحي، و اعتبار از سيستم ھاي تعاملي از برنامه ھاي كامپيوتري و سيستم ھاي تعاملي اختصاص داده شده است. معادلات ديفرانسيل ھيبريدي توسط كيم و ھمكاران در نظر گرفته شده است. در مقاله حاضر نشان داده شده است كه مثال كيم و ھمكاران در حالت اول زياد دقيق نيست و در حالت دوم، نادرست است. يعني، جواب ارايه شده توسط نويسندگان در حالت دوم در معادلات ديفرانسيل ھيبريدي صدق نمي كند. جواب دقيق در اينجا توسط مشتق ھاكو آرا ارايه شده است. پس از آن، روش تجزيه و تحليل ھموتوپي براي بدست آوردن جواب معادلات ديفرانسيل ھيبريدي ارايه مي شود. سپس روش ارايه شده با يك مثال ارايه مي شود.

Hybrid system is a dynamic system that exhibits both continuous and discrete dynamic behavior‎. ‎The hybrid differential equations have a wide range of applications in science and engineering‎. ‎The hybrid systems are devoted to modeling‎, ‎design‎, ‎and validation of interactive systems of computer programs and continuous systems‎. ‎Hybrid fuzzy differential equations (HFDEs) is considered by Kim et al.‎ ‎\cite{kim}‎. ‎In the present paper it is shown that the example presented by Kim et al‎. ‎in the Case I is not very accurate and in the Case II‎, ‎is incorrect.‎ ‎Namely‎, ‎the exact solution proposed by the authors in the Case II are not solutions of the given HFDE‎. ‎The correct exact solution is also presented here‎, ‎together with some results for characterizing solutions of FDEs under‎ ‎Hukuhara differentiability by an equivalent system of ODEs‎. ‎Then‎, ‎the homotopy analysis method (HAM) is applied to obtained the series solution of the HFDEs‎. ‎Finally‎, ‎we illustrate‎ ‎our approach by a numerical ‎example.‎