Théorie algorithmique des anneaux arithmétiques, des anneaux de Prüfer et des anneaux de Dedekind

Nous développons la théorie constructive des anneaux de Prüfer et de Dedekind. Les résultats de base de cette théorie sont reformulés de manière algorithmique. Les preuves que nous obtenons sont souvent plus simples et plus générales que celles que lʹon trouve dans la littérature classique. Pour réaliser ces objectifs, de nombreuses définitions classiques doivent être reformulées de façon constructive. Nous ne faisons en général pas dʹhypothèse dʹintégrité, dʹoù lʹimportance accordée aux anneaux arithmétiques, aux anneaux de Prüfer (anneaux arithmétiques réduits) et anneaux de Prüfer cohérents (souvent appelés anneaux semi-héréditaires). Nous nous situons dans un cadre, naturel pour les applications concrètes, où lʹon ne prétend pas disposer dʹun algorithme de factorisation complète pour les idéaux inversibles dʹun anneau de Dedekind. La factorisation complète dʹun idéal inversible (qui nʹexiste pas toujours dʹun point de vue constructif) est remplacée par lʹexistence de bases de factorisation partielle pour les familles finies dʹidéaux inversibles. De nombreux résultats sont en outre démontrés dans le cadre moins restrictif des anneaux de Prüfer cohérents ou dans celui des anneaux de Prüfer cohérents de dimension inférieure ou égale à 1. Abstract We give a basic constructive theory for Prüfer rings and Dedekind rings. All results are given in a direct algorithmic way. Our proofs are often more simple and more general than the ones we found in classical literature. Many definitions have to be reformulated in an equivalent but constructive way. We do not assume in general to deal with domains, whence the importance given to arithmetical rings, Prüfer rings (arithmetical reduced rings) and Prüfer coherent rings (semi-hereditary rings). Our general setting for Dedekind rings does not include complete factorisation of invertible ideals. We prefer to use partial factorisation bases for finite families of invertible ideals, since they always do exist constructively. Moreover, many important results are obtained in the weaker setting of Prüfer coherent rings or of dimension one Prüfer coherent rings