Cohomologie de lʹalgèbre triangulaire et applications

Dans cet article, nous étudions la cohomologie (et lʹhomologie) de Hochschild H*(T,Λ) de lʹalgèbre , où A et B sont deux algèbres unitaires, M est un A Bo-module et Λ est un T-bimodule. En exprimant H*(T,Λ) comme cohomologie du complexe cône dʹun morphisme dont la construction est simple, nous obtenons, non seulement de manière immédiate les suites exactes connues sur le sujet, mais de plus, sous lʹhypothèse que M est projectif sur A (ou sur Bo), des suites exactes plus précises permettant de mieux comprendre HH*(T)=H*(T,T), en particulier lorsque Bo=EndA(M). Par exemple, nous obtenons un isomorphisme HH*(T) HH*( !), où est le morphisme canonique et ! est lʹalgèbre introduite par Gerstenhaber et Shack pour lʹétude de ses déformations [J. Algebra 95 (1985) 245–262]. Abstract We study the Hochschild cohomology (and homology) H*(T,Λ) of the triangular algebra , with A and B unital algebras, M a A Bo-module and Λ a T-bimodule. We describe H*(T,Λ) as the cohomology of the cone complex of a morphism, simple to construct. In this way we not only recover immediately the classical exact sequences of the field, but also, under the hypothesis that M is projective over A (or Bo), more precise exact sequences giving better insights for HH*(T)=H*(T,T), in particular when Bo=EndA(M). For instance, we get an isomorphism HH*(T) HH*( !), where is the canonical morphism and ! is the algebra introduced by Gerstenhaber and Shack to study its deformations [J. Algebra 95 (1985) 245–262].