Indice et décomposition de Cartan dʹune algèbre de Lie semi-simple réelle

Résumé La décomposition dʹIwasawa issue de la décomposition de Cartan dʹune algèbre de Lie semi-simple réelle permet dʹécrire sous la forme , avec . Dans cet article, on donne une formule explicite pour lʹindice, , de , où est le complexifié de . Précisément, on montre le résultat suivant : où et sont respectivement les complexifiés de et de . Nous répondons en particulier de façon positive à une question posée par Raïs dans [M. Raïs, Notes sur lʹindice des algèbres de Lie, preprint, 2004] : lʹindice est-il additif dans la décomposition suivante : ? La démonstration repose sur la construction de Kostant et utilise les transformations de Cayley. On donne en outre une caractérisation des algèbres de Lie semi-simples réelles pour lesquelles la sous-algèbre possède une forme stable. Abstract The Iwasawa decomposition of the real semisimple Lie algebra comes from its Cartan decomposition . Then we get where . In this note, we establish an explicite formula for the index, , of , where is the complexification of . More precisely, we show the following result: where and are respectively the complexifications of and . In particular, this answers positively a question by Raïs in [M. Raïs, Notes sur lʹindice des algèbres de Lie, preprint, 2004]: is the index additive for the following decomposition: ? In the proof, we use the Kostant construction and the Cayley transforms. We also give a characterization of the semisimple real Lie algebra whose subalgebra has a stable form.