Critère dʹirréductibilité pour les séries principales de GLn(F) en caractéristique p

Résumé Soient p un nombre premier et F un corps p-adique. Parmi les -représentations lisses irréductibles de GL2(F) ayant un caractère central, L. Barthel et R. Livné ont classifié les sous-quotients dʹinduites paraboliques et montré quʹil en existe dʹautres, quʹils nʹont pas classifiées et quʹils ont appelées supersingulières [L. Barthel, R. Livné, Irreducible modular représentations of GL2 of a local field, Duke Math. J. 75 (2) (1994) 261–292 ; L. Barthel, R. Livné, Modular représentations of GL2 of a local field : The ordinary, unramified case, J. Number Theory 55 (1995)]. En 2001, C. Breuil a obtenu la classification de ces dernières, dans le cas particulier où [C. Breuil, Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de GL2(Qp) I, Compos. Math. 138 (2) (2003) 165–188]. Pour n 3, on ne connaît pas même la classification des -représentations lisses irréductibles de GLn(F) qui sont des sous-quotients dʹinduites paraboliques. Nous nous intéressons ici au cas des séries principales. Le cadre de la caractéristique p fait jouer un rôle particulier à lʹunique pro-p-Sylow du sous-groupe dʹIwahori de GLn(F) : toute -représentation lisse non nulle de GLn(F) possède un vecteur non trivial fixé par ce pro-p-Iwahori. Il est ainsi naturel dʹapprocher les représentations lisses de GLn(F) via lʹétude des modules sur la -algèbre de Hecke du pro-p-Iwahori de GLn(F). Les travaux de M.-F. Vignéras sur la structure de cette algèbre ont permis de définir ses modules standards [M.-F. Vignéras, Pro-p-Iwahori Hecke ring and supersingular -représentations, Math. Ann. 331 (3) (2005) 523–556, Erratum in : Math. Ann. 333 (3) (2005) 699–701]. A lʹaide des modules standards dits réguliers, nous étudions lʹespace des invariants sous lʹaction du pro-p-Iwahori des séries principales de GLn(F) en caractéristique p. Nous en déduisons un critère dʹirréductibilité pour ces séries principales.