Pro-ℓ-extensions de corps de nombres image-rationnels Original Research Article

For a prime image dividing a prime number ℓ, we define what it is for a number fieldKto be image-rational. We discuss a special case: the ℓ-birational fields, rational for two places over ℓ. We give a definition for a image-primitive set of tame primes,X, that let us write the Galois group of the maximal ℓ-ramified ℓ-extension ofKas the free pro-ℓ-product of the decomposition groups of primes dividing ℓX∞. This way we get a condition on the ramification for an ℓ-extension ofKto be rational. Numerical examples are given. Nous introduisons ici la notion de corps de nombres image-rationnelKrelativement à une place image au-dessus dʹun nombre premier ℓ, qui généralise celle de corps ℓ-rationnel (ou ℓ-régulier) déjà considérée par plusiers auteurs en relation avec laK-théorie, et nous en discutons deiverses propriétés. Nous définissons ensuite la notion dʹensemble de places image-primitif qui permet de décrire le groupe de Galois de la pro-ℓ-extension maximale dʹun tel corps comme pro-ℓ-produit de groupe de Galois locaux et de caractériser les ℓ-extensions image-ramifiées en termes de ramification modérée. Le tout est illustré par des exemples numériques obtenus par le système PARI.