Compter des points dʹune variété torique Original Research Article

Soit V une variété torique sur image déployée et lisse à laquelle on associe une fonction h des hauteurs définie par des métriques naturelles sur le fibré anticanonique. Soit Tsubset ofV le tore algébrique dense dans V. On se place dans le cas où le faisceau anticanonique de V est engendré par ses sections globales. Il existe un réel θ=θ(V)>0 tel que lʹon ait, pour Bgreater-or-equal, slanted1,NT(B)=card{Pset membership, variantU : h(P)less-than-or-equals, slantB}=BQ(log B)+O(B1−θ)où Q est un polynôme de degré égal à rang (Pic(V))−1 et de coefficient dominant égal à la constante C conjecturée par E. Peyre. Nous démontrons ce résultat grâce à des résultats de géométrie algébrique issus dʹun récent travail de P. Salberger et à un théorème général de théorie analytique des nombres sur les estimations précises de sommes multiples de fonctions arithmétiques démontré par lʹauteur. Copyright 2001 Academic Press. Let V be a split and smooth toric variety over image. We associate a height function h defined by natural metrics on the anticanonic sheaf. Let Tsubset ofV be the algebraic torus which is dense in V. We assume that the anticanonical sheaf of V is generated by its global sections. There exists θ=θ(V)>0 such that, for Bgreater-or-equal, slanted1,NT(B)=card{Pset membership, variantU : h(P)less-than-or-equals, slantB}=BQ(log B)+O(B1−θ)where Q is a polynomial with a degree equal to rank (Pic(V))−1 and a leading coefficient equal to the constant conjectured by E. Peyre. We show this result by using a recent work of P. Salberger and a general result from analytic number theory about precise estimation of multiple sums of arithmetical functions shown by the author.