Abstract :
Dans cet article, nous définissons et étudions la notion de corps P-réduisant qui généralise celle de corps pythagoricien. Nous montrons que si P désigne un polynôme absolument irréductible de image(T1, …, Tn)[X], alors aucune extension finie et stricte de la clôture P-réduisante dans dʹun corps K hilbertien de caractéristique 0 nʹest P-réduisante. Dans une deuxième partie, nous regardons un cas particulier de corps P-réduisant: les corps ultra-n-fermatiens. Nous montrons que si p est un nombre premier impair et si K est un corps de caractéristique nulle contenant les racines p2-ièmes de lʹunité, alors le groupe de Galois, Gal(Ku−fermp/K), (où Ku−fermp désigne la clôture ultra-p-fermatienne de K) est un pro-p-groupe sans torsion. Copyright 2001 Academic Press. This paper is devoted to the notion of P-reducing field, which generalizes the notion of a Pytagorean field. We show that if P is an absolutely irreducible polynomial of image(T1, …, Tn)[X], then there is no proper finite P-reducing extension of the P-reducing closure of an Hilbertian field of characteristic 0. In the second part, we study a particular case of P-reducing fields: ultra-n-Fermatian fields. We show that if p is an odd prime number and K is a field of characteristic 0 containing all the p2th roots of unity, then the Galois groups, Gal(Ku−fermp/K) (where Ku−fermp is the ultra-p-Fermation closure of K) is a torsion-free pro-p-group.
