Estimation asymptotique de la distance minimale du dual des codes BCH et polynômes de Dickson Original Research Article

We discuss the Carlitz-Uchiyama bound for the duals of BCH codes. An improvement of this bound was expected by MacWilliams and Sloane in their book The Theory of Error-Correcting Codes. We show that there exists a conjecturally infinite series of values such that for the designed distance of a BCH code belonging to that series this improvement is not true. On the contrary, we show that the Carlitz-Uchiyama bound is reached asymptotically. We deduce these results from corresponding results for exponential sums associated to monomials or to Dickson polynomials. We study also the extension of these results to the case of fields of characteristic different from 2. Résumé On discute de la borne de Carlitz-Uchiyama pour le dual dʹun code BCH. MacWilliams et Sloane avaient suggéré dans leur livre The Theory of Error-Correcting Codes une amélioration de cette borne. On montre, pour la distance prescrite du code BCH appartenant à une certaine série, série qui est conjecturalement infinie, que cette amélioration nʹest pas vérifiée et quʹau contraire la borne de Carlitz-Uchiyama est asymptotiquement atteinte. On déduit ces résultats de résultats correspondants pour les sommes exponentielles associées à des monômes ou à des polynômes de Dickson. On étudie aussi lʹextension de ces résultats au cas des corps de caractéristique supérieure à 2.