Some results on Betti numbers of Stanley-Reisner rings Original Research Article

We study the Betti numbers which appear in a minimal free resolution of the Stanley-Reisner ring k[Δ] = A/IΔ of a simplicial complex Δ over a field k. It is known that the second Betti number of k[Δ] is independent of the base field k. We show that, when the ideal IΔ is generated by square-free monomials of degree two, the third and fourth Betti numbers are also independent of k. On the other hand, we prove that, if the geometric realization of Δ is homeomorphic to either the 3-sphere or the 3-ball, then all the Betti numbers of k[Δ] are independent of the base field k. Résumé Nous étudions les nombres de Betti qui apparaissent dans une résolution minimale libre de lʹanneau k[Δ] = A/IΔ de Stanley-Reisner dʹun complexe simplicial Δ sur un corps k. Il est déjà connu que le second nombre de Betti de k[Δ] ne dépend pas du corps de base k. Nous montrons que, dans le cas où lʹidéal IΔ est engendré par des monômes de degré deux sans facteur carré, le troisième et le quatrième nombre de Betti ne dépendent toujours pas de k. De plus, dans le cas où la réalisation géométrique de Δ est homéomorphe à la sphère à 3 dimensions ou bien à la balle à 3 dimensions, nous montrons que tous les nombres de Betti de k[Δ] sont indépendents du corps de base k.