A criterion for the applicability of Zeilbergerʹs algorithm to rational functions Original Research Article

We consider the applicability (or terminating condition) of the well-known Zeilbergerʹs algorithm and give the complete solution to this problem for the case where the original hypergeometric term F(n,k) is a rational function. We specify a class of identities ∑k=0nF(n,k)=0,F(n,k)∈C(n,k), that cannot be proven by Zeilbergerʹs algorithm. Additionally, we give examples showing that the set of hypergeometric terms on which Zeilbergerʹs algorithm terminates is a proper subset of the set of all hypergeometric terms, but a super-set of the set of proper terms. Résumé Nous considérons lʹapplicabilité (ou la condition de terminaison) du célèbre algorithme de Zeilberger et nous donnons la solution complète de ce problème dans le cas où le terme hypergéométrique initial F(n,k) est une fonction rationnelle. Nous indiquons une classe dʹidentités ∑k=0nF(n,k)=0,F(n,k)∈C(n,k), qui ne peuvent être démontrées par lʹalgorithme de Zeilberger. De plus, nous donnons des exemples qui prouvent que lʹensemble des termes hypergéométriques pour lesquels lʹalgorithme de Zeilberger se termine est un sous-ensemble propre de lʹensemble de tous les termes hypergéométriques mais un super-ensemble de lʹensemble des termes propres.