Application des fonctions symétriques à la résolution d’équations différentielles autonomes combinatoires Original Research Article

We present a method of solving combinatorial differential equations based on the utilization of symmetric functions in the context of combinatorial species introduced by Joyal (see~Adv. in Math. 42 (1981) 1). Our approach relies on an isomorphism between the ring of symmetric functions and the ring of rational set species, whose elements are formal sums involving variables Ei, the species of sets of cardinality i. This isomorphism is used to calculate the kernel of the derivative D operator restricted to the above ring. We also study the equation Y′=(1+Y)2, Y(0)=0 for which we give, apart from the solution L∗ (nonempty linear orders), another solution in the half-ring of species of sets. The question of the existence of another solution to this equation has been raised (J. Math. Anal. Appl. 113 (2) (1986) 334). Résumé Nous introduisons une approche fondée sur lʹutilisation des fonctions symétriques intervenant dans la résolution d’équations différentielles combinatoires dans le contexte des espèces de structures de Joyal (voir (Adv. in Math. 42 (1981) 1). Notre méthode est basée sur un isomorphisme entre lʹanneau des fonctions symétriques et lʹanneau des espèces ensemblistes rationnelles. Les éléments de cet anneau sont des sommes formelles à coefficients dans Q de monômes formés des variables Ei, Ei désignant lʹespèce des ensembles de cardinal~i. Nous utilisons cet isomorphisme pour calculer le noyau de lʹopérateur de dérivée D restreint à cet anneau. L’équation différentielle Y′=(1+Y)2, Y(0)=0 sera aussi objet de notre étude. Nous donnons, en plus de la solution L∗ des listes non vides, une autre solution dans le demi-anneau des espèces ensemblistes. La question de lʹexistence dʹune autre solution dans les espèces a été posé par Labelle (J. Math. Anal. Appl. 113 (2) (1986) 334).