On lacets and their manifolds Original Research Article

By topological lacet we mean the embedding, with self-intersections, of a closed curve in a 2-manifold, such that (1) all self-intersections are simple double points at which the curve crosses itself, and (2) the complement of the curve in the 2-manifold is a 2-colorable family of discs. Such embeddings are characterized, up to homotopy, by a combinatorial lacet, that is, by a double occurrence word Δ on an alphabet P and a bipartition (K,L) of the set P, P representing the set of self-intersections of the curve, Δ their sequence in one complete run along the curve, and K,L the two types of reentry possible at a crossing. Passing by the construction of a map associated to the lacet, we show that every combinatorial lacet is representable on a 2-manifold. Beginning with a problem on curves in the plane posed and partially solved by Gauss (1840), and introducing certain linear transformations of vector spaces over GF(2), depending on Δ and (K,L), Rosenstiehl [C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 283 (1976) 551] and Lins et al. [Aequationes Math. 33 (1987) 81] characterized combinatorial lacets representable in the Euclidean plane and projective plane, respectively, by a simple property of the enlacement graph of pairs of letters in Δ. We prove here that a characterisation of the same sort extends naturally to the case of arbitrary 2-manifolds. In particular, we present procedures for determining if a combinatorial lacet is representable on the torus, or on the Klein bottle. Résumé Par lacet topologique on entend le plongement avec auto-intersections dʹune courbe fermée dans une 2-variété tel que (i) les intersections ne sont que des points doubles où la courbe se traverse; (ii) le complémentaire de la courbe dans la 2-variété est une famille bicolorable de disques. De tels plongements se trouvent caractérisés, à une homotopie près, par un lacet combinatoire, à savoir la donnée dʹun mot Δ à doubles occurrences sur un alphabet P et un couple (K,L) de parties complémentaires de P, P représentant lʹensemble des auto-intersections de la courbe, Δ lʹordre des occurrences de ces intersections dans un parcours complet de la courbe, et (K,L) les deux types de franchissement aux croisements. En passant par la construction dʹune carte associée au lacet, il est prouvé que chaque lacet combinatoire est représentable dans une 2-variété. Partant dʹun problème de courbes du plan posé et partiellement résolu par Gauss (1840), et introduisant des transformations dʹespaces vectoriels sur GF(2) construits sur Δ et (K,L), Rosenstiehl [C. R. Acad. Sci. Paris ser. A 283 (1976) 551] et Lins et al. [Aequationes Math. 33 (1987) 81]) ont caractérisé les lacets combinatoires représentables dans le plan euclidien et le plan projectif respectivement, par une simple propriété du graphe dʹentrelacement des éléments de P dans Δ. Il est prouvé quʹune caractérisation de même nature s’étend naturellement au cas dʹune 2-variété arbitraire; en particulier on présente deux procédures pour déterminer si un lacet combinatoire est représentable dans le tore, ou dans la bouteille de Klein.