m-Sparse solutions of linear ordinary differential equations with polynomial coefficients

We introduce the notion of m-sparse power series (e.g. expanding sin x and cos x at x=0 gives 2-sparse power series: a coefficient an of the series can be nonzero only if remainder (n,2) is equal to a fixed number). Then we consider the problem of finding all m-points of a linear ordinary differential equation Ly=0 with polynomial coefficients (i.e., the points at which the equation has a solution in the form of an m-sparse series). It is easy to find an upper bound for m. We prove that if m is fixed then either there exists a finite number of m-points and all of them can be found or all points are m-points and L can be factored as L=L̃∘C where C is an operator of a special kind with constant coefficients. Additionally, we formulate simple necessary and sufficient conditions for the existence of m-points for an irreducible L. Résumé On introduit la notion de série de puissances m-creuse. (Les dévéloppements de sin x et de cos x autour de x=0 sont des exemples de séries 2-creuses: on demande que le coefficient an de la série soit non-nul seulement si n appartient à une classe fixée de residus modulo 2). On considère le problème de déterminer tous les m-points dʹune équation différentielle linéaire Ly=0 à coefficients polynomiaux (i.e. les points où l’équation admet une solution sous forme m-creuse). Il est facile de trouver une borne supérieure pour m. Pour m fixé on démontre quʹou bien il existe un nombre fini de m-points et on peut les déterminer, ou bien tous les points sont des m-points et L peut se factoriser en L=L̃∘C où C est un opérateur dʹun type particulier à coefficients constants. En plus, on donne des critères nécessaires et suffisants simples pour lʹexistence de m-points lorsque lʹopérateur L est irréductible.