On discrete Morse functions and combinatorial decompositions Original Research Article

This paper relates the recent theory of discrete Morse functions due to Forman (Adv. in Math. 134 (1998) 90–145) and combinatorial decompositions such as shellability, which are known to have many useful applications within combinatorics. First, we present the basic aspects of discrete Morse theory for regular cell complexes in terms of the combinatorial structure of their face posets. We introduce the notion of a generalized shelling of a regular cell complex and describe how to construct a discrete Morse function associated with such a decomposition. An application of Formanʹs theory gives us generalizations of known results about the homotopy properties of shellable complexes. We also discuss an application to a set of complexes related to matroids. Résumé Dans cet article nous relions la nouvelle théorie de Morse discrète due à Forman (Adv. in Math. 134 (1998) 90–145) et les théories combinatories des décompositions telles que shellability dont on connait déjà beaucoup dʹapplications utiles. Dʹabord nous interprétons les aspects de base de la théorie de Morse discrète pour des complexes cellulaires réguliers par la structure combinatorie de leur le poset de facettes. Nous introduisons la notion dʹun shelling généralisé dʹun complexe cellulaire régulier et nous décrivons la construction dʹune fonction de Morse discrète associée à une telle décomposition. Une application de la théorie de Forman donne des généralisations de résultats connus concernant les propriétés dʹhomotopie de complexes shellable. Nous discutons aussi une application à un ensemble de complexes relié à des matroı̈des.