Quantum double Schubert polynomials, quantum Schubert polynomials and Vafa–Intriligator formula Original Research Article

We study algebraic aspects of equivariant quantum cohomology algebra of the flag manifold. We introduce and study the quantum double Schubert polynomials S̃w(x,y), which are the Lascoux–Schützenberger type representatives of the equivariant quantum cohomology classes. Our approach is based on the quantum Cauchy identity. We define also quantum Schubert polynomials S̃w(x) as the Gram–Schmidt orthogonalization of some set of monomials with respect to the scalar product, defined by the Grothendieck residue. Using quantum Cauchy identity, we prove that S̃w(x)=S̃w(x,y)|y=0 and as a corollary obtain a simple formula for the quantum Schubert polynomials S̃w(x)=∂ww0(y)S̃w0(x,y)|y=0. We also prove the higher genus analog of Vafa–Intriligatorʹs formula for the flag manifolds and study the quantum residues generating function. We introduce the Ehresmann–Bruhat graph on the symmetric group and formulate the equivariant quantum Pieri rule. Résumé Nous étudions les aspects algébriques de la cohomologie quantique de la varieété de drapeaux. Nous introduisons et étudions les polynômes de Schubert doubles quantiques S̃w(x,y), qui sont les représentants des classes de cohomologie équivariantes du type des polynômes de Lascoux-Schützenberger. Notre approche est fondée sur une identité de cauchy quantique. Nous définissons aussi les polynômes de Schubert quantiques par un procédé dʹorthogonalisation de Gram–Schmidt, par rapport à un produit scalaire défini à lʹaide dʹun résidu de Grothendieck. Utilisant la formule de Cauchy quantique, nous montrons que S̃w(x)=S̃w(x,y)|y=0, et comme corollaire, nous obtenons une formule simple pour les polynômes de Schubert quantiqes: S̃w(x)=∂ww0(y)S̃w0(x,y)|y=0. Nous prouvons aussi lʹanalogue, en genre plus élevé, de la formule de Vafa–Intriligator pour les variétés de drapeaux, et étudions la fonction génératrice des résidus quantiques. Nous introduisons enfin le graphe dʹEhresmann–Bruhat sur le groupe symétrique et énoncons la régle de Pieri quantique équivariante.