Lyndon words, polylogarithms and the Riemann ζ function

The algebra of polylogarithms (iterated integrals over two differential forms ω0=dz/z and ω1=dz/(1−z)) is isomorphic to the shuffle algebra of polynomials on non-commutative variables x0 and x1. The multiple zeta values (MZVs) are obtained by evaluating the polylogarithms at z=1. From a second shuffle product, we compute a Gröbner basis of the kernel of this evaluation morphism. The completeness of this Gröbner basis up to order 12 is equivalent to the classical conjecture about MZVs. We also show that certain known relations on MZVs hold for polylogarithms. Résumé Lʹalgèbre des polylogarithmes (intégrales itérées des deux formes différentielles ω0=dz/z et ω1=dz/(1−z))) est isomorphe à lʹalgèbre des polynômes en variables non commutatives x0 et x1, munie du produit de mélange. Les MZV sʹobtiennent en évaluant les polylogarithmes en z=1. Nous calculons, à partir dʹun deuxième produit de mélange, une base de Gröbner du noyau de ce morphisme d’évaluation. La complétude de la base de Gröbner à lʹordre 12 est équivalente à une conjecture classique sur les MZV. Nous montrons aussi que certaines relations connues sur les MZV sont en fait valables pour les polylogarithmes.