Eventually rational and m-sparse points of linear ordinary differential operators with polynomial coefficients Original Research Article

Let L(y)=0 be a linear homogeneous ordinary differential equation with polynomial coefficients. One of the general problems connected with such an equation is to find all points a (ordinary or singular) and all formal power series ∑n=0∞cn(x−a)n which satisfy L(y)=0 and whose coefficient cn — considered as a function of n — has some ‘nice’ properties: for example, cn has an explicit representation in terms of n, or the sequence (c0,c1,…) has many zero elements, and so on. It is possible that such properties appear only eventually (i.e., only for large enough n). We consider two particular cases: 1. (c0,c1,…) is an eventually rational sequence, i.e., cn=R(n) for all large enough n, where R(n) is a rational function of n; 2. (c0,c1,…) is an eventually m-sparse sequence, where m⩾2, i.e., there exists an integer N such that(cn≠0)⇒(n≡N (mod m))for all large enough n. Note that those two problems were previously solved only ‘for all n’ rather than ‘for n large enough’, although similar problems connected with polynomial and hypergeometric sequences of coefficients have been solved completely. Résumé Soit L(y)=0 une équation différentielle linéaire ordinaire homogène et à coefficients polynomiaux. Un problème général en liaison avec une telle équation est la recherche de tous les points a (ordinaires ou singuliers) et de toutes les séries formelles ∑n=0∞cn(x−a)n qui vérifient L(y)=0 et dont les coefficient cn — considérés comme une fonction de n — vérifient de ‘bonnes’ propriétés, comme par exemple, que cn admette une représentation explicite en termes de n, ou que la suite (c0,c1,…) comprend de nombreux termes nuls. Un autre cas intéressant est par ailleurs celui où de telles propriétés nʹapparaissent quʹasymptotiquement (ex: pour des n assez grands). Dans cet article, nous considérons les deux cas particuliers suivants: 1. (c0,c1,…) est une suite ultimement rationnelle, i.e., cn=R(n) pour tout n assez grand, où R(n) est une fraction rationnelle en n; 2. (c0,c1,…) est une suite ultimement m-creuse, où m⩾2, i.e., il existe un entier N tel que(cn≠0)⇒(n≡N (mod m))pour tout n assez grand. Remarquons que ces deux problèmes nʹavaient été jusquʹici résolus que ‘pour tout n’, et non ‘pour des n assez grands’, bien que des problèmes similaires en connection avec des suites de coefficients polynomiaux ou hypergéométriques aient été résolus de façon complète