Left-inversion of combinatorial sums Original Research Article

The inversion of combinatorial sums is a fundamental problem in algebraic combinatorics. Some combinatorial sums, such as an = Σkdn,kbk, cannot be inverted in terms of the orthogonality relation because the infinite, lower triangular array P = {dn,k}ʹs diagonal elements are equal to zero (except d0,0). Despite this, we can find a left-inverse ̄P such that PP̄ = I and therefore are able to left-invert the original combinatorial sum, and thus obtain bn = Σkd̄n,kak. Résumé Lʹinversion des sommes combinatoires est un problème fondamental dans lʹalgèbre combinatoire. Certaines sommes combinatoires, par exemple an = Σkdn,kbk, ne peuvent pas être inverties selon la rélation dʹorthogonalité, parce que les éléments sur la diagonale de la matrice triangulaire inférieure P = {dn,k} sont nuls (sauf d0,0). Malgré cela, on peut bien souvent définir une matrice left-inverse P̄ telle que PP̄ = I et, par conséquent, on peut left-invertir la somme combinatoire dʹorigine, en obtenant bn = Σkd̄n,kak.