Fonctions de Dirichlet dʹordre n et de paramètre t Original Research Article

Soit {gk} k >/ 1 une suite de nombres complexes de série génératrice G(z) = Σk>/1 gkzk. Nous définissons, en premier lieu, la fonction de Dirichlet associée à {gk}, dʹordre n/1 et de paramètre image, comme étant lʹévaluation du mot x1xn−10 par rapport aux formes différentielles dα(x0) = dz/z et dα(x1) = G(z)dz/z1-t. Nous établissons ensuite les propriétés combinatoires de cette fonction dans le cadre de lʹalgèbre de mélange des séries formelles en les indéterminées non commutatives et à lʹaide du calcul symbolique. Plus généralement, avec les formes différentielles de même type, nous exprimons lʹévaluation des mots de la forme xi1xn10 … xip xnp0 et, en particulier, des mots de Lyndon ou de Širšov en combinant avec les fonctions de Dirichlet. En examinant la représentation matricielle miniimale, nous établissons lʹévaluation des séries rationnelles. En particulier, lʹévaluation des fractions rationelles non commutatives de la forme xi1(c1x0)* … xip(cpx0)* nous conduit, via le théorème de convolution, aux fonctions spéciales du type hypergéométrique.