Abstract :
A subset A of a poset P is a q-antichain if it can be obtained as the union of at most q antichains. A ranked poset P is said to be q-Sperner if the maximum number of elements of a q-antichain of P is the sum of the cardinalities of its q larger rank-sets. P is strongly Sperner if it is q-Sperner for all q. A necessary and sufficient condition for P being q-Sperner is given, in terms of the existence of a family of maximal chains with specified properties. Unified proofs of several conditions of the literature for a poset to be strongly Sperner are derived.
Résumé
Une partie A dʹun ensemble ordonné P est une q-antichaíne si elle sʹobtient comme union dʹau plus q antichaínes. Un ensemble ordonné rangéP est dit q-Sperner si le cardinal maximum dʹune q-antichaîne de P est égal à la somme des cardinaux de ses q plus grands niveaux, et fortement de Sperner sʹil est q-Sperner pour tout q. On donne une condition nécessaire et suffisante pour que P soit q-Sperner, par lʹexistence dʹune famille de chaînes maximales vérifiant certaines propriétés. On en tire des démonstrations unifiées pour un certain nombre de conditions de la littérature assurant quʹun ensemble ordonné est fortement de Sperner.
