حل تحليلي ارتعاش آزاد تيرهاي مستطيلي عميق بدون فرضيات ساده كننده

Analytical solution for free vibration of deep rectangular beams without ad hoc assumptions

بررسي رفتار تيرهاي عميق به دليل ماهيت دو بعدي آن با استفاده از تئوري‌ هاي تير كلاسيك و برشي مرتبه اول با خطاهاي قابل ملاحظه اي همراه است. از طرف ديگر وجود فرضيات ساده كننده در تئوري هاي برشي مرتبه بالا منجر به كاهش دقت پاسخ هاي به دست آمده به ويژه در بررسي رفتار ديناميكي تيرهاي عميق مي شود. در اين پژوهش، حل تحليلي مسئله ارتعاش آزاد تير با مقطع مستطيلي و ضخامت دلخواه تحت تئوري دوبعدي ارتجاعي و با استفاده از توابع پتانسيل تغييرمكان ارائه شده است. معادله مشخصه ارتعاش آزاد از حل يك معادله ديفرانسيل جزئي حاكم از مرتبة 4 به روش جداسازي متغييرها و با اعمال شرايط مرزي به‌دست‌‌ آمده است. به منظور اعتبارسنجي، نتايج حاصل از اين پژوهش با نتايج به‌دست‌ آمده از ساير كارهاي تحليلي و عددي مقايسه شده است. تاثير ضخامت، تعداد مود ارتعاشي و ضريب پواسون بر بسامد طبيعي تير ساده بررسي شده است. ويژگي عمده اين پژوهش، عدم وجود محدوديت ضخامت و اعتبار آن براي تيرهاي با ضخامت كم، متوسط و زياد است.

With the increase of thickness, existence of simplifying hypotheses in beam theories such as the ignorance of rotational inertial and transverse shear deformation in classic theory, application of determination coefficient in first-order shear theory and expression of one or few unknown functions based on other functions in higher order shear theories is accompanied by reduction in accuracy of these theories. This represents the necessity of precise and analytical solutions for beam problems with the least number of simplifying hypotheses and for different thicknesses. In the present study, the analytical solution for the problem of free vibration of homogeneous prismatic beam with rectangular solid sections and desired thickness which is fixed on simple bases is provided for two types of completely isotropic and transversely isotropic behaviors under two-dimensional theory of elasticity and functions of displacement potentials. Characteristic equations of natural vibration are defined by solving two partial differential equations of fourth and second order through separation of variables and application of boundary conditions. Modification of natural vibration of simple beam due to presence of elastic foundation for two modes of single and two parameters in lower plate along the beam was examined the results of which are provided for different modes. The major characteristics of present study are lack of limitation of thickness and its validity for beams of low, medium and large thickness.