بررسي تحليلي و عددي پديده آشوب در ديناميك وضعيت يك ماهواره در مدار بيضوي

Analytical and Numerical Analysis of Chaos in Attitude Dynamics of a Satellite in an Elliptic Orbit

در اين مقاله، به بررسي تحليلي و عددي پديده آشوب در ديناميك وضعيت يك ماهواره صلب تحت تاثير گشتاور اغتشاشي گراديان جاذبه ناشي از حركت در يك مدار بيضوي مي پردازيم. در بخش تحليلي، هدف اثبات وجود آشوب و سپس به دست آوردن رابطه اي براي عرض ناحيه آشوب بر اساس پارامترهاي سيستم است. در بخش عددي، هدف اعتبارسنجي بخش تحليلي با كمك دو روش عددي نگاشت پوانكاره و حساسيت به شرايط اوليه است. براي اين كار ابتدا هميلتونين سيستم بدون اغتشاش استخراج مي شود. اين هميلتونين داراي سه درجه آزادي است. اين در حالي است كه ديناميك وضعيت در حالت بدون اغتشاش داراي دو ثابت حركت شامل انرژي و ممنتم است. با استفاده از اين دو ثابت حركت و با كمك تبديل كانونيكال سرت-آندوير، هميلتونين سيستم بدون اغتشاش كاهش مرتبه داده شده و تبديل به يك سيستم يك درجه آزادي مي شود. در ادامه، اغتشاشات ناشي از گراديان جاذبه به خاطر حركت در مدار بيضوي بر اساس متغيرهاي سرت-آندوير و زمان تخمين زده مي‌شود. در نتيجه اين تخمين و ساده سازي، هميلتونين جديد سيستم يك درجه آزادي و تابعي از زمان مي‌شود. پس از آن، تئوري ملنيكف براي اثبات وجود آشوب حول مدارات هتروكلينيك سيستم استفاده مي گردد. به كمك اين تئوري، ضخامت لايه آشوب در فضاي متغيرهاي سرت-آندوير به صورت يك رابطه تحليلي تخمين زده مي شود. نتايج نشان مي‌دهد كه روابط تحليلي تطابق بسيار خوبي با نتايج عددي دارند. همچنين نتايج نشان مي دهد كه حتي براي خروج از مركزهاي بزرگ نيز اين روابط صادق است.

In this paper, we investigate chaos in attitude dynamics of a rigid satellite in an elliptic orbit analytically and numerically. The goal in the analytical part is to prove the existence of chaos and then to find a relation for the width of chaotic layers based on the parameters of the system. The numerical part is aimed at validating the analytical method using the Poincare maps and the plots obtained on the sensitivity to initial conditions. For this end, first, the Hamiltonian for the unperturbed system is derived. This Hamiltonian has three degrees of freedom due to the three-axis free rotation of the satellite. However, the unperturbed attitude dynamics has two first-integrals of motion, namely, the energy and the angular momentum. Next, we use the Serret-Andoyer transformation and reduce the unperturbed system Hamiltonian to one-degree of freedom. Then, the gravity gradient perturbation due to moving in an elliptic orbit is approximated in Serret-Andoyer variables and time. Due to this approximation and simplification, the system Hamiltonian transforms to a one-degree-of-freedom non-autonomous one. After that, Melnikov’s method is used to prove the existence of chaos around the heteroclinic orbits of the system. Finally, a relation for calculating the width of chaotic layers around the heteroclinic orbits in the Poincare map of the Serret-Andoyer variables is analytically derived. Results show that the analytical method gives a good approximation of the width of chaotic layers. Moreover, the results show that the analytical method is accurate even for orbits with large eccentricities.