بهينه‌سازي سطح مقطع ميله‌هاي توخالي تحت پيچش با استفاده از روش جواب‌هاي اساسي

Optimization of the cross-section of hollow bars under torsion using the method of fundamental solutions

روش جواب‌هاي اساسي، يك روش مرزيِ بدون شبكه است كه براي حل مسائل با مرز نامشخص يا متحرك بسيار مناسب است. در اين مقاله، روش جواب‌هاي اساسي در زمينه مسائل بهينه‌سازي شكل هندسي مقاطع تحت پيچش به كار گرفته شده است. هدف اين پژوهش، يافتن شعاع‌هاي بهينه گوشه‌يِ مقاطع توخالي تحت پيچش، براي به حداقل رساندن حداكثر تنش برشي است. در ابتدا، نشان داده مي‌شود كه براي مقدار بهينه شعاع گوشه، مي‌بايست حداكثر تنش برشي در مرز خارجي با حداكثر تنش برشي در گوشه‌هاي داخلي برابر باشد. با توجه به اين واقعيت، يك تابع هدف مناسب تعريف شده است و سپس با استفاده از روش لونبرگ - ماركوارت، كه يك روش بهينه‌سازي مبتني بر گراديان است، تابع هدف به حداقل مي‌رسد. نحوه چيدمان نقاط متمركز و چشمه، تاثير بسيار مهمي بر دقت جواب در روش جواب‌هاي‌ اساسي دارد. در اينجا، براي تعيين مناسب محل نقاط چشمه و متمركز از يك روش دو قيدي استفاده مي شود. به منظور ارزيابي دقتِ كد توسعه يافته براي تحليل پيچشي اعضاي توخالي با استفاده از روش جواب‌هاي اساسي، يك مثال با دامنه بيضي توخالي ارائه شده است. نتايج عددي حاصل با نتايج حاصل از جواب دقيق مسأله مقايسه شده است كه انطباق بسيار خوبي را نشان مي‌دهد. مقادير بهينه شعاع انحناي گوشه براي عضوهاي با مقاطع مربع، مستطيل و ذوزنقه در ضخامت‌هاي مختلف به دست آمده است و سپس با توجه به نتايج به دست آمده، فرمولي براي تعيين شعاع‌هاي بهينه گوشه هاي داخلي مقاطع مستطيل توخالي استخراج شده است.

The method of fundamental solutions is a boundary-type mesh-free method, which is very suitable for problems with unknown or moving boundaries. In this paper, the method of fundamental solutions is employed for shape optimization in torsion problems. The objective of this work has been to find optimum corners radii of hollow cross-sections under torsion for minimizing the maximum stress. First, it is shown that for the optimum value of the corner radius, the maximum shearing stress on the outer boundary should be equal to the shearing stress at internal corner. Considering this fact, a suitable objective function is defined and then it is minimized using the Levenberg-Marquardt method, which is a gradient-based optimization method. The configuration of collocation and source points has a very important effect on the accuracy of the solution in the method of fundamental solutions. Here, a two-constraint method is used for proper configuration of source and collocation points. To verify the accuracy of the developed code for torsion analysis of hollow members using the method of fundamental solutions, an example with a hollow elliptical domain is presented. The obtained numerical results are compared with the results of exact solution, which show a very good agreement. The optimum values of corners radii for members with square, rectangle and trapezoid cross-sections and different thicknesses have been successfully found. Then, using the obtained results, a formula for the optimum value of the radius of internal corners of hollow rectangle cross sections is constructed.