حل مسائل وابسته به زمان با استفاده از روش توابع پايه نمايي تعميم‌يافته

Solving time-dependent problems using the generalized exponential basis functions method

در اكثر رشته‌هاي مهندسي نياز به حل معادلات ديفرانسيل پاره‌اي وجود دارد. محاسبه جواب دقيق براي اين دسته از معادلات به جز در موارد خاص امكان‌پذير نمي‌باشد، كه اين امر باعث افزايش اهميت روش‌هاي عددي مي‌شود. همگام با پيشرفت در علم و تكنولوژي روش‌هاي جديدي براي حل معادلات ديفرانسيل پاره‌اي ارائه شده است. از جمله اين روش‌ها مي‌توان به روش‌هاي بدون‌ شبكه اشاره كرد. يكي از اين روش‌ها كه در سال‌هاي اخير توسعه يافته است، روش بدون شبكه توابع پايه نمايي تعميم يافته مي‌باشد. در اين روش تابع مجهول به صورت تركيب خطي از توابع نمايي در نظر گرفته مي‌شود. در مسائل خطي ضرايب به صورتي محاسبه مي‌شوند كه فرم همگن معادله در نقاط شبكه به صورت دقيق برآورده شود. براي حل مسائل غيرخطي، معادله ديفرانسيل و شرايط مرزي با استفاده از رويكرد نيوتن-كانترويچ، خطي‌سازي و حل مي‌شوند. در اين مقاله اين روش به مسائل وابسته به زمان توسعه داده شده است. به منظور بررسي كارايي روش مسائل خطي و غيرخطي وابسته به زمان در مكانيك جامدات با بهره‌گيري از اين روش بررسي شده است. مقايسه نتايج حاصل از روش پيشهادي با جواب‌هاي تحليلي نشان از دقت مناسب (خطاي كمتر از 1 درصد) روش ارائه شده دارد.

Partial differential equations are needed in most of the engineering fields. Analytical solutions to these equations cannot be derived except in some very special cases, making numerical methods more important. Alongside advances in science and technology, new methods have been proposed for solution of partial differential equations, such as meshless methods. Recently, the generalized exponential basis function (GEBF) meshless method has been introduced. In this method the unknown function is approximated as a linear combination of exponential basis functions. In linear problems, the unknown coefficients are calculated such that the homogenous form of main differential equation is satisfied in all points of the grid. In order to solve nonlinear equations, Newton-Kantorovich scheme is first used to linearize them. The linearized equations are then solved iteratively to obtain the result. In this paper, time dependent problems in solid mechanics have been investigated. In order to examine performance of the proposed method, linear and non-linear problems in solid mechanics are considered and the results are compared with analytical solutions. The results show good accuracy (less than 1 percentage error) of the presented method.