ارتعاشات آزاد پيچشي نانو ذره كروي با استفاده از تئوري الاستيسيته سطح گورتين

Free torsional vibration analysis of Nano-spherical particle using Gurtin surface elasticity model

حل تحليلي ارتعاشات آزاد پيچشي نانو ذرات كروي با بكارگيري تئوري الاستيسيته سه بعدي دقيق همراه با مدل گورتين- مرداك براي وارد نمودن اثرات سطح مورد مطالعه قرار گرفته است. براي بدست آوردن معادلات حركت، معادلات ناوير براي يك محيط مادي نوشته شده و با استفاده از جداسازي هلمهولتز، معادلات ناوير به معادلات برداري موج تبديل شده است سپس با استفاده از فرضياتي كه براي حركت پيچشي كره مفروض است معادلات برداري موج در سيستم مختصات كروي بصورت دقيق حل شده و ميدانهاي جابجايي و تانسور تنش استخراج شده است. در ادامه با استفاده از تئوري گورتين- مرداك، اثرات انرژي سطح كه بنوعي مبين اندازه نانو براي كره است در شرايط مرزي مساله وارد مي‌شود. نهايتا با اعمال شرايط مرزي معادله مشخصه فركانسي استخراج مي‌شود. با در نظر گرفتن نانو كره از جنس آلومنيوم و دو نوع سطح مختلف متاثر از جهت‌هاي كريستالوگرافي، چندين مثال عددي مورد بررسي قرار گرفته است تا تاثير انرژي سطح و به ويژه اندازه شعاع داخلي نانو كره بر روي فركانس‌هاي طبيعي پيچشي سيستم نشان داده شود. مشاهده مي‌شود براي نانو كره آلومنيوم با اندازه كمتر از 50 نانومتر تاثيرات انرژي سطح بر فركانس طبيعي قابل توجه است

The torsional vibrational characteristics of nano-scale sphere using an exact size-dependent elasticity solution based on Gurtin-Murdoch’s surface elasticity model are studied. In the absence of body forces, the displacement field is governed by the classical Navier’s equation. Helmholtz decomposition is used to separate the dynamic equations of motion into the decoupled vector wave equations. The motion under consideration is assumed to be torsional and vector wave equation exactly is solved and displacement field and stress tensor are obtained. Size-dependent elasticity solution based on Gurtin-Murdoch surface energy model is employed to incorporate the surface stress terms into the pertinent boundary conditions, leading to frequency equations involving spherical Bessel functions. Isotropic aluminum with two different set of surface properties corresponding to the crystallography directions are considered and extensive numerical calculations have been carried out to illustrate the size effect of the nano-sphere on the first and second dimensionless vibrational natural frequencies. The numerical results describe the imperative influence of surface energy and radii ratio on vibrational characteristic frequency of nano-sphere. In particular, the surface energy is much important when inner radius is smaller than 50 nm.