رفتار آشوبناك نانو‌تير بر روي بستر ويسكوالاستيك غيرخطي تحت تحريك هارمونيك با استفاده از تئوري غير موضعي

Chaotic behavior of nonlocal nanobeam resting on a nonlinear viscoelastic foundation subjected to harmonic excitation

در اين مقاله، ارتعاشات غيرخطي يك نانوتير اويلر برنولي واقع بر بستر ويسكوالاستيك غيرخطي مورد بررسي قرار مي‌گيرد. فرض مي‌شود كه نانو تير در معرض يك نيروي هارمونيك قرار دارد كه مي تواند تخميني از يك ميدان الكتروستاتيك باشد. بستر ويسكو الاستيك غيرخطي براي دو حالت داراي سخت شوندگي و نرم شوندگي در نظر گرفته مي‌شود. با توجه به مدل‌سازي در مقياس نانو، معادلات ديناميك غيرخطي نانو تير مورد نظر از روش تئوري الاستيسيته غير موضعي ارينگن و با صرف‌نظر از اينرسي درون صفحه‌اي به‌دست مي‌آيد. با استفاده از روش گالركين و شكل مود اول، معادله ديفرانسيل مشتقات پاره‌اي به‌دست آمده به معادله ديفرانسيل معمولي تبديل مي‌شود. پس از محاسبه نقاط تعادل سيستم و مشاهده دو شاخگي هيتروكلنيك، مدارهاي هيتروكلنيك تعيين مي‌شوند. سپس با استفاده از روش انتگرال ملنيكوف حركت آشوبناك سيستم به‌صورت تحليلي بررسي شده و محدوده امن رفتار سيستم با توجه به فضاي پارامتري مساله مشخص مي‌شود. نتايج نشان مي‌دهد كه وقتي بستر ويسكوالاستيك داراي خاصيت سخت شوندگي باشد، بروز رفتار آشوبناك در سيستم نمي‌تواند مورد انتظار باشد. مشاهده مي‌شود كه استفاده از تئوري الاستيسيته غير موضعي براي بررسي رفتار آشوبناك نانو‌تيرها ضروري بوده و عدم استفاده از اين تئوري نتايج متفاوتي مي‌دهد و ممكن است سيستم را در ناحيه غير امن قرار دهد.

In this paper, the nonlinear vibration of a Euler–Bernoulli nanobeam resting on a non-linear viscoelastic foundation is investigated. It is assumed that the nanobeam is subjected to a harmonic excitation that can be representative of an electrostatic field. The non-linear viscoelastic foundation is considered for both hardening and softening cases. By neglecting of the in-plane inertia, Eringen's nonlocal elasticity theory is used to model and derive the equation of motion of the nanobeam. Using the Galerkin method and the first mode shape, the obtained partial differential equation is reduced to the ordinary differential equation. Calculating the system's equilibrium points lead to heteroclinic bifurcation and the heteroclinic orbits are obtained. Then, using the Melnikov integral method, the chaotic motion of the system is studied analytically, and the safe region of the system is determined respect to the parametric space of the problem. When the viscoelastic foundation has a hardening characteristic, the chaotic behavior in the system does not occur. It has been observed that the use of nonlocal elasticity theory is necessary to investigate the chaotic behavior of nanobeam, and using the classical theory of elasticity may place the system in the chaotic region.