توسيع برخي از حلقه‌هاي خاص در امتداد يك ايده‌آل

فرض كنيد R حلقه‌اي جابه‌جايي و نوتري باشد و I ايده‌آلي سره از Rباشد. دآنا و فونتانا در [6] ساختار جديدي از حلقه ها را معرفي كردند و آن‌را توسيع حلقه R در امتداد ايده‌آل I نامگذاري كردند. اين ساختار جديد با نماد  R - Iنمايش داده مي‌شود. در اين مقاله، با در نظر گرفتن همريختي حلقه‌اي  نشان مي دهيم كه اگر ، آن‌گاه و نيز اگر ، آن‌گاه  چنان موجود است كه . به وسيله اين نتيجه ثابت مي كنيم كه اگر  يك حلقه جامعاً كوهن-مكالي (جامعاً گورنشتاين) باشد و  نيز يك مدول جامعاً كوهن-مكالي ماكزيمال (جامعاً كانونيك) باشد، آن‌گاه  يك حلقه جامعاً كوهن-مكالي (جامعاً گورنشتاين) خواهد بود. همچنين حلقه هاي جامعاً شبه گورنشتاين را معرفي مي كنيم و شرايطي را بررسي مي كنيم كه تحت آن جامعاً شبه گورنشتاين باشد. به علاوه نشان مي دهيم كه  يك حلقه تقريباً كوهن-مكالي است اگر و تنها اگر  تقريباً كوهن-مكالي باشد. و در نهايت ثابت مي كنيم كه اگر  يك حلقه تقريباً گورنشتاين باشد، آنگاه  نيز تقريباً گورنشتاين خواهد بود.