وابستگي ابعادي ارتعاشات غيرخطي ميكروتير با مقطع غيريكنواخت و شرايط مرزي مختلف

Size-dependent nonlinear vibration of non-uniform microbeam with various boundary conditions

در اين پژوهش، براي اولين بار، تاثير غيريكنواختي مقطع ميكروتير و شرايط مرزي مختلف بر ارتعاشات غيرخطي ميكروتير با در نظر گرفتن رفتار وابسته به ابعاد براساس تئوري‌ تنش كوپل اصلاح شده، بررسي مي‌شود. با استفاده از اصل هميلتون، معادله حاكم بر ميكروتير اويلر- برنولي، با در نظر گرفتن غيرخطي هندسي فون كارمن و بر اساس تئوري‌ تنش كوپل اصلاح شده استخراج مي‌گردد. سپس معادله ارتعاشات غيرخطي حاصل، با استفاده از روش مشتقات تربيعي بهبود يافته و روش تكرار مستقيم حل مي‌شود تا فركانس طبيعي غيرخطي بدست آيد. در اين مرحله، با استفاده از روش گلركين، معادلات ديفرانسيل جزئي غيرخطي حاكم بر ارتعاشات به معادله ديفرانسيل معمولي غيرخطي از نوع دافينگ با متغير زمان كاهش مي‌يابد. معادله حاصل، با استفاده از ماتريس ديفرانسيل گير اسپكترال كه بر اساس مشتقات توابع پريوديك پايه تعريف شده است، تفكيك مي‌گردد. سپس با استفاده از روش طول كمان، معادله غيرخطي پارامتري حاصل، حل مي‌شود و پاسخ فركانسي ارتعاشات اجباري غيرخطي ميكروتير بدست مي‌آيد. نهايتا فركانس طبيعي غيرخطي و پاسخ فركانسي ميكروتير براي مقاطع غيريكنواخت و شرايط مرزي مختلف محاسبه و تحليل مي‌شود. نتايج پژوهش جاري نشان ميدهد كه ارتعاشات غيرخطي آزاد و اجباري ميكروتير وابسته به ابعاد است. همچنين براي تيرغيريكنواخت، اين وابستگي ابعادي، چشمگيرتر و براي شرايط مرزي مختلف، متفاوت است. راستي‌آزمايي روش با مقايسه نتايج با نتايج حل دقيق در حالت ساده شامل مقطع يكنواخت و تكيه‌گاه ساده صورت گرفته كه بيانگر دقت خوب روش حاضر مي‌باشد.

In this article, for the first time, the effect of non-uniformity of microbeam cross section and various boundary conditions on the nonlinear vibration of microbeam is investigated considering the size dependent behavior based on modified couple stress theory. Using the Hamilton’s principle, the governing equation of Euler–Bernoulli microbeam with von Karman geometric nonlinearity based on the modified couple stress theory is derived. The nonlinear vibration governing equation is then solved using the Generalized Differential Quadrature method (GDQ) and direct iterative method to obtain the nonlinear natural frequencies. In this step, the Galerkin method is used to reduce the nonlinear PDE governing the vibration into a time-dependent ODE of Duffing-type. The time domain is then discretized via spectral differentiation matrix operators which are defined based on the derivatives of a periodic base function. Next, the nonlinear parametric equation is solved using pseudo arc-length method and the frequency–response curves of microbeam nonlinear forced vibration is obtained. Finally, nonlinear natural frequency and frequency response of microbeam with various non-uniformity of cross sections and boundary conditions are obtained. Present results show that, the nonlinear free and forced vibration of microbeam is size dependent. Moreover, this size dependency is more significant for non-uniform microbeam and is deferent for various boundary conditions. The result of present method for simple case including uniform section and simply supported boundary condition is validated with that of exact method and have good agreement.