يك روش بدون شبكۀ محلي به‌ صورت قوي براي حل معادلۀ شرودينگر وابسته به زمان دوبعدي

A Local Strong form Meshless Method for Solving 2D time-Dependent Schrödinger Equations

در اين مقاله يك روش بدون شبكۀ محلي بر پايۀ صورت قوي مسئله، براي حل معادلۀ دوبعدي وابسته به زمان شرودينگر داده شده است. ابتدا متغير زمان با استفاده از يك روش تفاضلات متناهي مناسب گسسته‌سازي شده است. سپس، در معادلات بيضوي حاصل، متغير مكاني با استفاده از روش توابع پايه‌اي شعاعي محلي كه در آن عملگر معادلۀ ديفرانسيل جزئي نيز در ماتريس‌هاي محلي اعمال شده، گسسته‌سازي شده است. در روش ارائه شده، برخلاف روش‌هاي هم‌محلي سراسري، با تقسيم دامنۀ هم‌محلي سراسري به تعداد زيادي زير ناحيه‌هاي محلي، پايداري روش به شدّت افزايش مي‌يابد. به‌علاوه، به‌دليل استفاده از صورت قوي و روش هم‌محلي، كه نياز به محاسبۀ انتگرال ندارد، و هم‌چنين به‌دليل اين‌كه در عمليات ماتريسي، ماتريس‌ها با بعد كوچك هستند، هزينۀ محاسبات كاهش مي‌يابد. براي خطي‌سازي معادلات غيرخطي، روشي تكراري معرفي شده است. دو مثال خطي و دو مثال غيرخطي با جواب تحليلي معلوم و يك مثال غيرخطي با جواب نامعين و شرايط مرزي متناوب به‌وسيلۀ اين روش آزموده شده‌اند و نتايج عددي نشان‌دهندۀ دقّت بالا و كارايي روش است

This paper deals with the numerical solutions of the 2D time dependent Schr¨odinger equations by using a local strong form meshless method. The time variable is discretized by a finite difference scheme. Then, in the resultant elliptic type PDEs, special variable is discretized with a local radial basis function (RBF) methods for which the PDE operator is also imposed in the local matrices. Despite the global collocation approaches, dividing the global collocation domain into many local subdomains, the stability of the method increases. Furthermore, because of the use of strong form equation and collocation approach, which does not need integration, and since in the matrix operations the matrices are of small size, computational cost decreases. An iterative approach is proposed to deal with the nonlinear term. Two linear and two nonlinear test problems with known exact solutions are considered and then, the simulation to a nonlinear problem with unknown solution and periodic boundary conditions is also presented and the results reveal that the method is efficient.