ارتعاشات آزاد غير خطي در تيرهاي منعطف با بخش مياني صلب و جرم نوك

Nonlinear Free Vibration in Flexure Beams with an Intermediate Rigid Element and a Tip Mass

يك روش معمول به منظور بهينه كردن سفتي درجه آزادي يك سازوكار منعطف استفاده از يك جسم صلب مياني در تيرهاي منعطف آن است. هدف اين مقاله، بررسي ارتعاشات آزاد غيرخطي يك تير منعطف با بخش مياني صلب است كه در انتهاي آن يك جرم متمركز وصل شده است. به منظور تعيين معادلات ديفرانسيل جزئي غيرخطي حاكم بر رفتار تير از اصل هميلتون استفاده مي‌شود. سپس شكل مدهاي خطي شده و بي بعد تير منعطف به روش تحليلي محاسبه مي‌شود و با نتايج حاصله از نرم افزار آباكوس مقايسه مي‌گردد. به كمك شكل مد اول سازوكار و معادلات لاگرانژ، معادلات ديفرانسيل ديناميكي حاكم به دست مي‌آيد. آنگاه اين معادلات به صورت عددي به كمك نرم افزار متلب حل مي‌گردد. تبديل فوريه گسسته پاسخ‌هاي ديناميكي نشان مي‌دهد كه پاسخ ديناميكي عرضي تنها يك بسامد اصلي دارد؛ در حالي كه پاسخ‌هاي محوري ديناميكي داراي سه بسامد اصلي مي‌باشد. مشاهده مي‌شود كه اين بسامدها، همان بسامدهاي طبيعي سامانه خطي است كه به صورت تحليلي با فرم بسته قابل ارائه هستند. رويكرد ارائه شده در اين پژوهش مي‌تواند براي تحليل و بهينه‌سازي رفتار ديناميكي سازوكارهاي منعطف مورد استفاده قرار بگيرد.

A usual method in achieving a proper value for the ratio of constraint to degree of freedom stiffness in a compliant mechanism, is using an intermediate rigid element in its constitutive beams. This paper aims to study the nonlinear free vibration of a stiffened beam with a mass connected to its tip. Hamilton’s principle is used to find nonlinear partial differential equations governing behavior of the beam. The mode-shapes of the normalized and linearized system are then found analytically and verified via Abaqus simulations. Using a single mode approximation, the first mode-shape of the system is used along with the Lagrange equations to find governing ordinary differential equations of degree of freedom and degree of constraint dynamic. These equations are then solved numerically using MATLAB. The Discrete Fourier Transform of dynamic responses show that the degree of freedom dynamic contains a single dominant frequency, while the constraint dynamic contains three main harmonics. It is observed that dominant frequencies are essentially natural frequencies of the linearized system which are available in a closed form. The suggested analytical formulations as well as the proposed frequency analysis, is expected to provide an effective approach for analytical dynamic modeling of more complex compliant mechanisms.