تحليل خمش و ارتعاش آزاد نانو ورق مدرج تابعي با استفاده از نظريه ورق مرتبه بالاي مثلثاتي

Bending and Free Vibration Analysis of Functionally Graded Nano-plate Using Trigonometric Higher-Order Plate Theory

در اين مقاله خمش و ارتعاش آزاد نانو ورق مدرج تابعي با استفاده از يك نظريۀ ورق مرتبه بالاي مثلثاتي جديد بررسي شده است. معادلات حاكمه با استفاده از اصل هميلتون استخراج گرديده و سپس حل دقيق خمش و ارتعاش آزاد نانو ورق مستطيلي با شرط مرزي ساده به كمك روش ناوير به دست آمده است. همچنين ازنظريۀ غيرمحلي براي لحاظ اثرات اندازه استفاده شده است. خواص مكانيكي نانو ورق مدرج تابعي با تابع تواني در راستاي ضخامت تغيير مي‌كند. به منظور تأييد دقت نظريۀ ارائه شده، نتايج حاصل از حل حاضر با نتايج موجود مقايسه شده است و مطابقت بسيار خوبي حاصل گرديده است. همچنين، اثرات نسبت طول به ضخامت، نسبت ابعادي درون صفحه اي و پارامتر غيرمحلي روي رفتار خمشي و ارتعاش آزاد نانو ورق بررسي شده است. نتايج نشان مي‌دهد كه لحاظ پارامتر غيرمحلي در معادلۀ حاكمه يا افزايش مقدار شاخص تواني، باعث كاهش بسامد طبيعي و افزايش خيز نانو ورق مي‌شود و به عبارت ديگر موجب كاهش سفتي نانو ورق مي‌گردد. در ضمن با افزايش طول نانو ورق يا نسبت ابعادي، تأثير پارامتر غيرمحلي و اثرات اندازه كاهش مي‌يابد. همچنين، نظريه ارائه شده علاوه بر ارائه جوا بهاي دقيق خمش و ارتعاش آزاد براي نانو ورق ضخيم و نسبتاً ضخيم با هزينه محاسباتي كم، توزيع سهميوار تنش برشي درون ضخامت را پيش بيني مي‌كند.

In this paper, bending and free vibration analyses of functionally graded nano-plates are investigated using a new trigonometric higher-order plate theory. The governing equations are developed by employing Hamilton’s principle and then a Navier-type analytical solution for bending and free vibration of simply supported rectangular FG nano-plates is obtained. Furthermore, the nonlocal theory of elasticity is used to take into account the small scale effects. The mechanical properties of the functionally graded nano-plates are assumed to vary by a power law function through the thickness. In order to confirm the accuracy of the present theory, the obtained results from the present solution are compared with the existed results, and a very good agreement is achieved. Moreover, the effects of length-to-thickness ratio, aspect ratio and nonlocal parameter on the bending and free vibration solutions are investigated. The results demonstrate that the inclusion of nonlocal parameter in governing equations or increasing the power index, leads to reduction of the natural frequency and increasing of the deflection and in another word the nano-plate stiffness is reduced. Also, the impact of the nonlocal parameter and size effects is reduced by increasing the length of the nano-plate or aspect ratio. Furthermore, the present theory not only provides exact solution for the bending and free vibration of thick and moderately thick functionally graded nano-plates with minimum computational cost, but also exhibits the parabolic distribution of the shear stress through the thickness.