ارتعاشات طولي آزاد غيرخطي ميله تحت كرنش محدود

Nonlinear Longitudinal Free Vibration of a Rod Undergoing Finite Strain

ميله‌ها يكي از اعضاي مهم در سازه‌هاي مهندسي هستند و تحليل ارتعاشات ميله به علت كاربرد وسيع آن در مهندسي داراي اهميت زيادي است. بنابراين، درك چگونگي ارتعاشات غيرخطي محوري ميله در شرايط تكيه‌گاهي متفاوت، با دامنه اوليه زياد، بسيار مفيد است. لذا در اين مقاله، به تحليل ارتعاشات ميله با شرايط تكيه‌گاهي متفاوت، براساس كرنش محدود، بدون ساده‌سازي در روابط كرنش-جابجايي پرداخته شده و براي بدست آوردن معادله‌هاي حاكم از كرنش گرين- لاگرانژي، ميرايي ساختاري و اصل هاميلتون استفاده شده است. سپس با استفاده از روش گالركين معادله غيرخطي پارهاي به معادله غيرخطي معمولي تبديل شده است. معادله‌هاي حاصل بر خلاف اكثر مقالات كه براي معادله ارتعاشاتي غيرخطي فقط جمله غيرخطي درجه سه را درنظر مي‌گيرند، داراي جمله‌هاي غيرخطي درجه دو و سه هستند. اين معادله‌ها به روش مقياس‌هاي چندگانه حل شده و پاسخ ارتعاشاتي ميله در دو حالت بدون ميرايي و با ميرايي با شرايط مختلف تكيه-گاهي بدست آمده است. براي بررسي دقت روش و صحت سنجي آن، نتايج به دست آمده از روش حاضر با نتايج روش عددي رانگ-كوتاي درجه چهارم مقايسه گرديده كه نشان مي‌دهد روش حاضر داراي دقت مناسبي است. در پايان تحليل حساسيت براي بررسي تأثير ضريب‌هاي غيرخطي بر پاسخ ارتعاشاتي ميله انجام شده است.

Rods are one of significant engineering’s structures and vibration analysis of a rod because of extended application of it in engineering is very important. Therefore, understanding of longitudinal nonlinear vibration of rod with different boundary conditions and large amplitude is very useful. In this paper, vibration of a rod with different boundary conditions undergoing finite strain, without simplification in strain-displacement relations, is investigated. For obtaining governing equation, Green-Lagrange strain, structural damping and Hamilton principle are used and then Galerkin method is employed to convert nonlinear partial differential equation to nonlinear ordinary differential equation. In spite of many papers that only use of cubic term for nonlinearity, the governing equation has quadratic and cubic terms. The equations with and without damping, are solved with multiple time scales method. In order to verify the accuracy of this method, the results are compared with results of Runge-Kutta numerical method, which have good accuracy. Finally sensitivity analysis for understanding of influence of nonlinear coefficients on rod vibration answer is done.