عملگر L_r و نگاشت گاوس رويه‌هاي درجه دوم

چندجمله‌اي هاي درجه دوم بر حسب متغييرهاي x,y,z، يك رويه درجه دوم را مشخص مي‌كند. در اين مقاله با استفاده از عملگر L_1 (عملگر چنگياو )كه بر تابع هاي هموار روي رويه‌ها اثر مي‌كند به مطالعه نگاشت گاوس رويه‌هاي درجه دوم در فضاي اقليدسي سه بعدي R^3 مي‌پردازيم. فرض كنيد f يك تابع هموار بر رويه M باشد، آنگاه L_1 f=tr(P_1 o ∇^2 f)كه P_1 اولين تبديل نيوتن وابسته به دومين فرم اساسي رويه و ∇^2 f عملگر خودالحاق و هم‌ارزي متري با هسيان f است، G=(G_1,G_2,G_3) و L_1 G=(L_1 G_1,L_1 G_2,L_1 G_3). در اين مقاله نشان مي‌دهيم تنها رويه‌هاي درجه دوم با نگاشت گاوس G صادق در شرط L_1 G=AG كه در آن A يك ماتريس 3×3 است، كره‎‌ها و رويه‌هاي درجه دوم تخت‌ هستند. بعلاوه كره‌ها تنها رويه‌هاي درجه دوم فشرده با نگاشت گاوس G صادق در شرط L_1 G=AG براي يك ماتريس 3×3 مانند A هستند.