جنبه‌هاي توپولوژيك از منطق مرتبه اول كلاسيك

Topological aspects of the classical logic

منطق مرتبه اول كلاسيك رايج‌ترين منطق در كاربردهاي رياضيات و همچنين در مطالعه بنيادهاي منطقي مي‌باشد. از دير باز تنها ارتباط بين منطق و توپولوژي رياضي محدود به مفهوم فضاهاي تايپ بوده و پيوندهاي ديگري بين اين دو حوزه متصور نبوده است. اخيرا پيوندهاي اساسي بين اين دو شاخه (يعني منطق و توپولوژي) ايجاد شده‌ است كه كاربردهاي زيادي در هر دو حوزه منطق و همچنين در توپولوژي را موجب شده‌اند. در اين مقاله به مطالعه برخي از مهمترين پيوندهاي اين دو شاخه از رياضيات و همچنين كاربردهاي آنها خواهيم پرداخت. يكي از مفاهيم كليدي در منطق رياضي و نظريه مدل‌ها مفهوم پايداري مي‌باشد كه بياني كاملا تركيبياتي دارد. در اين مقاله نشان مي‌دهيم كه اين مفهوم معادل يك مفهوم توپولوژيك براي مجموعه مشخصي از توابع مي‌باشد و با استفاده از آن قضيه‌اي بنيادين در نظريه پايداري شلاح را ثابت مي‌كنيم. همچنين ارتباط بين مفهوم وابستگي و يك خاصيت توپولوژيك از مجموعه‌اي از توابع را بيان مي‌كنيم و اثباتي توپولوژيك از برخي از دستاوردهاي مهم نظريه مدل‌ها را ارائه خواهيم داد. برخي از نتايج ارائه شده در اين مقاله در هر دو حوزه منطق و توپولوژي كاملا جديد هستند و احتمال كاربردهاي بيشتر از آنها در مطالعات آتي متصور مي‌باشد.

Classical first-order logic is the most common logic in mathematics applications as well as in the study of logical foundations. From a long time ago, the only link between logic and mathematical topology was limited to the concept of type spaces, and there were no other links between these two domains. Recently, the basic links between these two branches (i.e. logic and topology) have been created, which have led to many applications in both areas of logic as well as in topology. In this article, we will study some of the most important links between these two branches of mathematics as well as their applications. One of the key concepts in mathematical logic and model theory is the concept of stability, which has a completely combinational statement. In this paper, we show that this concept is equivalent to a topological concept for a certain set of functions, and using this we prove a fundamental theorem of Shelah stability theory. We also describe the relationship between the concept of dependence and a topological property of a set of functions, and provide topological proofs of some of the important achievements of model theory. Some of the results of this paper are new.