افزايش پايداري عددي در شبيه سازي جريان هاي ويسكوالاستيك در اعداد وايزنبرگ بالا

Enhancing Numerical Stability in Simulation of Viscoelastic Fluid Flows at High Weissenberg Number Problem

اين روزها يكي از بزرگ ترين چالش ها براي افرادي كه در زمينه رئولوژي كار مي كنند ارتقاء بازده و پايدار كردن روش هاي عددي به منظور دست يافتن به عدد وايزنبرگ (Wi) دلخواه و مورد نظر مي باشند كه با روش هاي عادي و بدون استفاده از هيچ پايدار كننده و فيلترينگ، نمي توان به عدد وايزنبرگ آزمايشگاهي به دليل خطاهاي عددي رسيد. به دليل وجود ترم هاي غير خطي در سيالات ويسكوالاستيك و داشتن حافظه شبيه سازي آن سخت مي باشد. در اين تحقيق ايده اوليه از روش تبديل لگاريتمي گرفته شده كه در ابتدا توسط فتال وكوپفرمن مطرح گرديده است. در متد ما تبديل با فرمولاسيون تانژانت هايپربوليك صورت گرفته كه ضمن حفظ خاصيت مثبت متقارن و معين تانسور سازگاري همچنين با محدود كردن مقادير ويژه تانسور سازگاري از ميل كردن به بينهايت و از ايجاد نقاط تكين جلوگيري و موجب پايداري مدل مي شود . براي اعتبار سنجي صحه گزاري كار خود را روي كانال دو بعدي با مدل ويسكوالاستيك FENE-Pو با روش هاي المان طيفي كه براساس توابع چند جمله اي با درجه بالا مي باشد انجام داده ايم. تحت انجام اين شبيه سازي، ماكزيمم عدد وايزنبرگ قابل دسترس، رشد 100درصدي نسبت به روش كلاسيك FENE-P را داشته است.

Nowadays, simulation of viscoelastic flows at high Weissenberg numbers is one of the most obstacles and important issues for rheologists to observe the rheological properties at sufficiently high weissenberg number. It is well known that the conformation tensor should, in principle, remain symmetric positive definite (SPD) as it evolves in time. In fact, this property is crucial for the well-posedness of its evolution equation. In practice, this property is violated in many numerical simulations. Most likely, this is caused by the accumulation of spatial discretization errors that arise from numerical integration of the governing equations. In this research, we apply a mathematical transformation, the so-called hyperbolic tangent, on the conformation tensor to bound the eigenvalues and prevent the generation of negative spurious eigenvalues during simulations. The flow of FENE-P fluid through a 2D channel is selected as the test case. Discrete solutions are obtained by spectral/hp element methods which based on the high orders polynomials and have high accuracy for physical instability problems. This enhanced formulation, hyperbolic tangent, prevails the previous numerical failure by bounding the magnitude of eigenvalues in a manner that positive definite is always satisfied. Under this new transformation, the maximum accessible Weissenberg number increases 100% comparing the classical constitutive equation (FENE-P classic).