ارتعاشات اجباري غيرخطي صفحه مدرج تابعي مگنتو-الكترو-الاستيك مستطيلي‌ شكل بر اساس تئوري تغيير شكل برشي مرتبه سوم

Nonlinear Forced Vibration of Functionally Graded Magneto-Electro-Elastic Rectangular Plate based on the Third Order Shear Deformation Theory

در اين مقاله ارتعاشات اجباري عرضي غيرخطي تحت نيروي تحريك هارمونيك جانبي يك صفحه مدرج تابعي مگنتو-الكترو-الاستيك مستطيلي ‌شكل ساخته شده از پيزوالكتريك BaTiO3 و مگنتواستريكتيو CoFe2O4، با شرايط مرزي تكيه‌گاه ساده بررسي شده است. تغييرات خواص از پايين به بالا فرض شده است، يعني سطح بالاي ورق غني از پيزوالكتريك است، در حالي كه سطح پايين ورق غني از مگنتواستريكتيو است و خواص مواد در جهت ضخامت مطابق قانون توزيع تواني درجه ‌بندي شده است. معادلات حركت براساس تئوري برشي مرتبه سوم ردي به‌دست آمده‌اند. همچنين معادلات ماكسول در حالت الكترواستاتيك و مگنتواستاتيك براي مدل‌سازي رفتار الكتريكي و مغناطيسي به‌كار برده شده‌اند. سپس معادلات ديفرانسيل جزئي غيرخطي به‌دست آمده با استفاده از روش گلركين به پنج معادله ديفرانسيل معمولي غيرخطي كوپل شده تبديل شده‌اند. اين معادلات ديفرانسيل معمولي غيرخطي به يك معادله ديفرانسيل كه شامل ترم‌هاي غيرخطي سفتي و اينرسي و ترم‌هاي غيرخطي مرتبه دو و سه است كاهش يافته‌اند. براي حل معادله به‌دست آمده، از تئوري اغتشاشات استفاده شده است و سپس نتايج به‌ دست آمده براي فركانس طبيعي خطي با نتايج موجود بـراي ورق‌هاي همسانگرد و ورق‌هـاي پيزوالاستيك همسانگرد مقايسه شده‌اند و مطابقت خوبي ميان نتايج اين پژوهش و نتايجي كه قبلا منتشر شده‌اند مشاهده گرديده‌ است. در تحليل ارتعاشات اجباري، تشديد هاي اوليه، سوپر هارمونيك مطالعه شده ‌است و معادله پاسـخ فركانسـي آن به‌دست آمده است. همچنين با توجه به اهميت تشديد اوليه، پايداري آن نيز بررسي شده است. نيروي تحريك خارجي در اين حالت، نيروي تحريك مكانيكي با دامنـه ثابـت و به‌ صورت هارمونيك در حوزه زمان در نظر گرفته شده است.

In this paper, nonlinear vibration of the functionally graded rectangular plates made of piezoelectric BaTiO3 and magnetostrictive CoFe2O4, whit simply supported boundary condition has been investigated. It is assumed that the composition is varied from the bottom surfaces to top surface, i.e., the top surface of the plate is piezoelectric-rich, whereas the bottom surface is magnetostrictive-rich. In addition, material properties are graded along the thickness according to volume fraction power-law distribution. Based on the Reddy’s third-order share deformation plate theory, the governing equations of motion, whereas Maxwell equations for electrostatics and magnetostatics are used to model the electric and magnetic behavior. Then, the nonlinear partial differential equations of motion are transformed into five coupled nonlinear ordinary differential equations by using the Galerkin method. Afterward, the obtained coupled ordinary differential equations are reduced to a single nonlinear differential equation which include nonlinear inertia and stiffness terms with quadratic and cubic nonlinear terms. A perturbation method is used to solve the equation of motion analytically. The results for natural frequency are compared with the available results for isotropic, laminated and piezo-laminated plates and good agreement is found between the results of present study with the results of previously published papers. In the forced vibration, primary, super-harmonic resonances are studied and the frequency response equation has been obtained. Because of the importance of the primary resonance, the stability of the steady-state motion is investigated for the primary resonance, The applied external force is assumed to be harmonic in time with a constant amplitude.