بررسي پديده تشديد دروني و انتقال انرژي بين مودهاي ارتعاشي در تير ترك دار

Investigating the internal resonance and energy exchange between the vibration modes of a cracked beam

در اين مقاله معادلات حركت غيرخطي تير يك سر گير دار و يك سر مفصل با ترك باز استخراج شده و با حل آن به مطالعه پديده تشديد دروني در تير ترك دار پرداخته شده است. ترك به صورت يك فنر پيچشي مدل سازي شده و تير ترك دار به صورت دو تير مجزا كه با يك فنر پيچشي به هم متصل شده اند در نظر گرفته شده است. معادله حركت تير ترك دار با فرض غيرخطي هندسي استخراج و با استفاده از روش گالركين به مجموعه اي از معادلات غيرخطي براي مودهاي ارتعاشي تبديل شدند و با استفاده از روش اغتشاشات حل شدند. با توجه به وابستگي انرژي مكانيكي تير با دامنه نوسان آن، براي بررسي انتقال انرژي بين مودهاي ارتعاشي و تاثير ترك در آن، دامنه آني مودهاي ارتعاشي به دست آمد. نتايج به دست آمده نشان مي دهد كه در تير ترك دار مقدار انرژي انتقالي بين مودها كمتر از تير سالم بوده ولي نرخ تكرار انتقال انرژي بيشتر از تير سالم است و نرخ جا به جايي انرژي بين مودها با افزايش عمق ترك با شيب تندتري افزايش مي يابد. همچنين پاسخ ارتعاشي به دست آمده براي تير ترك دار با ميرائي هاي مختلف نشان مي دهد كه مقدار و سرعت انتقال انرژي وابستگي ناچيزي به ميرائي سيستم دارد. براي صحه سنجي نتايج به دست آمده از روش اغتشاشات، معادلات حركت با استفاده از روش عددي حل شده و نتايج به دست آمده حاكي از همخواني كامل نتايج به دست آمده از روش هاي تحليلي و عددي است.

The equations of nonlinear motion of clamped-hinged beam with an open crack were extracted and through solving them, the internal resonance in the cracked beam was studied. To this end, the crack was modeled as a torsional spring and the cracked beam was considered as two beam segments connected by a torsional spring. The equations of motion of the cracked beam were extracted considering the geometrical nonlinearity. Then, using the Galerkin’s method, these equations were changed to a set of nonlinear differential equations for vibration modes which were solved by the perturbation method. Since the mechanical energy of the beam in each mode depends on the instantaneous amplitude of vibration of the beam at the corresponding mode, so to analyze the influence of the crack on the energy exchange between the modes, the instantaneous amplitudes of the vibration modes were obtained. The results show that in the cracked beam the magnitude of the energy exchanged between the modes is less and the frequency is more than that in the intact beam. Also, by increasing the crack depth the frequency of energy exchange between the modes increases. The Vibration response obtained for the cracked beam with various amounts of the damping ratios shows that the frequency and the amplitude of energy exchange between the modes are independent of the system damping. To validate the results by the perturbation method, the equations of motions are also solved by a numerical method and the obtained results are in agreement with the results of the analytical method.