عدد تارسكي و دستگاههاي معادلات پيكربندي

Tarski Number and Configuration Equations

مفهوم پيكربندي گروه ها كه بر پايه‌ي افرازهاي متناهي و رشته‌هاي متناهي از اعضاي G تعريف مي‌شود، توسط رزنبلات و ويليس بيان شده است. به هر مجموعه از پيكربندي‌هاي يك گروه دستگاهي متناهي از معادلات خطي موسوم به دستگاه پيكربندي نظير مي‌شود. رزنبلات و ويليس نشان دادند كه گروه گسسته‌يG ميانگين‌پذير است اگر و تنها اگر هر دستگاه ممكن از پيكربندي‌هاي G جواب نرمال داشته باشد. در اين مقاله به بررسي مقايسه‌اي وجود جواب‌هاي نرمال چنين دستگاه‌هايي مي‌پردازيم. نشان مي‌دهيم كه اگر يك دستگاه پيكربندي جواب نداشته باشد، دستگاهي كه از تظريف افراز اوليه به دست مي‌آيد، نيز داراي جواب نخواهد بود. تجزيه‌ي متناقض نيز كه براي گروه‌هاي ميانگين‌ناپذير قابل بيان است بر اساس افرازها و اعضاي G ، تعريف مي‌شود. اين مفهوم داراي ارتباط نزديكي با پيكربندي است. عدد تارسكي يك گروه ميانگين‌ناپذير كوچك‌ترين تعداد ممكن از پاره‌هاي تجزيه‌هاي متناقض آن گروه است. در مقاله‌ي حاضر همچنين ارتباط بين اعداد تارسكي زيرگروه‌هاي دو گروه با پيكربندي‌هاي يكسان را به دست مي‌آوريم.

The concept of configuration of groups which is defined in terms of finite partitions and finite strings of elements of the group is presented by Rosenblatt and Willis. To each set of configurations, a finite system of equations known as configuration equations, is associated. Rosenblatt and Willis proved that a discrete group G is amenable if and only if every possible instance of its configuration equations admits a normalized solution. In this paper we compare the existence of such solutions for different systems. We prove that if a system of configuration equations has no normalized solution, then every system related to a refinement of the initial partition, has no normalized solution, as well. The Tarski number of a non-amenable group is the smallest number of the pieces of its paradoxical decompositions. In the present paper we also provide a relation between the Tarski numbers of the subgroups of two configuration equivalent groups.