ارائه تابع تخمين حداقل مربعات متحرك نگاشتي براي روش عددي بدون شبكه حداقل مربعات گسسته

Mapped Moving Least Squares approximation used in Mixed Discrete Least Squares Meshfree method

روش بدون شبكه حداقل مربعات گسسته كارايي مناسب خود را براي حل معادلات ديفرانسيلي مشتقات جزيي حاكم بر مسائل مهندسي نشان داده‌است. اين روش بر پايه كمينه كردن تابعك حداقل مربعاتي استوار است. تابعك حداقل مربعاتي به صورت مجموع وزن‌داري از باقيمانده‌ي معادله ديفرانسيلي و شرايط مرزي حاكم تعريف شده‌است. معمولا از تابع تخمين حداقل مربعات متحرك (MLS)، براي ساختن توابع شكل در روش بدون شبكه حداقل مربعات گسسته استفاده مي‌شود. هرچند با استفاده از اين نوع تابع تخمين سازگاري مورد نياز توابع تخمين ارضا مي‌شود، اما روش در صورت تجمع و نزديكي بيش از اندازه گره‌ها كارآيي مناسب خود را از دست مي‌دهد. در اين مطالعه مشكل مطرح شده، با استفاده از تابع تخمين نويني كه حداقل مربعات متحرك نگاشتي (MMLS) ناميده شده است، برطرف شده‌است. در اين روش خوشه‌هاي گرهي مجتمع به يك آرايش گرهي استاندارد نگاشت مي‌يابند؛ سپس تابع تخمين و مشتقات آن با در نظر گرفتن ملاحظاتي محاسبه مي‌شوند. كارايي روش تخمين پيشنهادي MMLS براي برطرف كردن مشكل تابع تخمين MLS با تخمين توابع رياضياتي مورد ارزيابي قرار گرفته‌است. نتايج بدست آمده قابليت روش پيشنهادي MMLS را جهت رفع مشكل نشان داده‌اند. تابع تخمين پيشنهادي در روش بدون حداقل مربعات گسسته مختلط استفاده شده و براي حل معادلات غير خطي برگرز به كار گرفته شده‌است. نتايج بدست آمده كارايي و دقت بالاي روش پيشنهادي را نشان مي‌دهند.

The Mixed Least Squares Meshfree (MDLSM) method has shown its appropriate efficiency for solving Partial Differential Equations (PDEs) governing the engineering problems. The method is based on the minimizing the residual functional. The residual functional is defined as a summation of the weighted residuals on the governing PDEs and the boundaries. The Moving Least Squares (MLS) is usually applied in the MDLSM method for constructing the shape functions. Although the required consistency and compatibility for the approximation function is satisfied by the MLS, the method loss its appropriate efficiency when the nodal points cluster too much. In the current study, the mentioned drawback is overcome using the novel approximation function called Mapped Moving Least Squares (MMLS). In this approach, the cluster of closed nodal points maps to standard nodal distribution. Then the approximation function and its derivatives compute noting the some consideration. The efficiency of suggested MMLS for overcoming the drawback of MLS is evaluated by approximating the mathematical function. The obtained results show the ability of suggested MMLS method to solve the drawback. The suggested approximation function is applied in MDLSM method, and used for solving the Burgers equations. Obtained results approve the efficiency of suggested method.