بررسي وجود تبديل زاك در ابرگروههاي موضعاً فشرده

The existence of Zak transform in locally compact hypergroups

فرض كنيد K يك ابرگروه موضعاً فشرده است. در اين مقاله ابتدا تعريف دامنه اساسي در ابرگروههاي موضعاً فشرده را بيان و سپس با استفاده از آن، نگاشت بخش بورل را تعريف مي كنيم. دامنۀ اساسي زيرمجموعه‌اي از K است كه از هر همدسته، يك و تنها يك عضو را دربر دارد. نگاشت بخش بورل درواقع نگاشتي است كه هر همدسته را به عضوي از آن كه در دامنۀ اساسي است متناظر مي‌كند. در نهايت به عنوان كاربردي از دامنه اساسي، نشان مي‌دهيم كه اگر K يك ابرگروه موضعاً فشرده‌ و H يك زيرابرگروه جابه جايي K باشداين تبديل را تبديل زاك مي ناميم و مورد مطالعه قرار مي دهيم. براي اين منظور از دوگان ابرگروه و به‌طور ويژه از قضيه پلانچرل استفاده مي‌كنيم. تعريفي كه در اين مقاله از تبديل زاك ارائه مي‌شود در حقيقت تعميمي از تبديل زاك در گروه‌هاي موضعاً فشرده است.

Let K be a locally compact hypergroup. In this paper we initiate the concept of fundamental domain in locally compact hypergroups and then we introduce the Borel section mapping. In fact, a fundamental domain is a subset of a hypergroup K including a unique element from each cosets, and the Borel section mapping is a function which corresponds to any coset, the related unique element in the fundamental domain. Finally, as an application we show that if K is a locally compact hypergroup and H is one of its commutative subhypergroup, then there exists an For this, we apply the dual of hypergroups and specially we use the Plancherel Theorem. This transform is a version of the Zak transform on locally compact hypergroups which can be considered as an extension of the usual notion of Zak transform in the case of locally compact groups.