پايه‌هايي جديد براي فضاهاي با پايه چندجمله‌اي

New Bases for Polynomial-Based Spaces

پايه‌هاي متداول درونيابي، مونوميال‌ها يا تك جمله‌اي‌ها هستند، بنابراين ماتريس ضرايب در حل دستگاه حاصل از درونيابي چندجمله‌اي، ماتريس واندرموند خواهد بود كه ماتريسي بد وضع و چگال بوده و پايداري جواب را با مشكل مواجه مي‌كند. در اين مقاله ما به دنبال يافتن پايه‌هاي ديگري از روي پايه‌هاي متداول مونوميال‌ها هستيم، به طوري كه عدد وضعيت ماتريس متناظر با پايه‌هاي جديد كوچكتر باشد. پايه‌هاي معرفي شده وابسته به داده بوده و به دو دسته پايه‌هاي l2-متعامد يكه‌ي گسسته و L2-متعامد يكه‌ي پيوسته تقسيم مي‌شوند. اين پايه‌ها، پايه‌هايي هستند كه اعضاي آنها به ترتيب تحت ضرب داخلي فضاهاي l2(X) و [1,1-]L2 دو به دو متعامد بوده، يا به عبارتي ماتريس گرام متناظر با ضرب داخلي آنها ماتريس هماني مي‌باشد. دسته‌ي اول با اعمال تجزيه QR و تجزيه مقدار تكين بر روي ماتريس واندرموند و دسته‌ي دوم با اعمال تجزيه چولسكي و تجزيه مقدار تكين بر روي ماتريس گرام متناظر با مونوميال‌ها به دست مي‌آيند. نتايج عددي به دست آمده بر كوچكتر بودن عدد وضعيت ماتريس‌هاي ارزيابي حاصل از پايه هاي جديد نسبت به پايه‌هاي متداول مونوميال و همچنين دقت بالاي اين پايه‌ها در درونيابي دلالت دارد.

Since it is well-known that the Vandermonde matrix is ill-conditioned, while the interpolation itself is not unstable in function space, this paper surveys the choices of other new bases. These bases are data-dependent and are categorized into discretely l2-orthonormal and continuously L2-orthonormal bases. The first one construct a unitary Gramian matrix in the space l2(X) while the later construct a unitary Gramian matrix in the space L2[-1,1]. The first one is defined via a factorization of Vandermonde matrix while the latter is given by a factorization of the Gramian matrix corresponding to monomial bases. A discussion of various matrix factorization (e.g. Cholesky, QR, SVD) provides a variety of different bases with different properties. Numerical results show that matrices of values of the new bases have smaller condition number rather that the common monomial bases. It can also be pointed out that the new introduced bases are good candidates for interpolation.