عدد احاطه‌اي هم-رومي در درخت ها

Co-Roman domination in trees

فرض كنيد G=(V,E) يك گراف و f:V(G)→{0,1,2} يك تابع باشد. رأسv نسبت به تابعf محافظت‌شده است هرگاه f(v)>0 يا f(v)=0و v با رأسي به وزن مثبت مجاور باشد. تابع f، يك تابع احاطه‌گر هم-رومي (به اختصار CRDF) است هرگاه: (1) هر رأس درV محافظت‌شده باشد، و (2) هر رأسu∈V با وزن مثبت همسايه‌اي همچون v∈Vبا f(v)=0 داشته‌باشد به طوري‌كه تابعf_uv:V→{0,1,2} تعريف‌شده به‌صورت f_uv (u)=f(u)-1 ، f_uv (v)=1 و برايx∈V-/{v,u} به‌صورت f_uv (x)=f(x)، هيچ رأس محافظت‌نشده‌اي نداشته‌باشد. وزنf به‌صورت ω(f)=∑_(v∈V)〖f(v)〗 تعريف مي‌شود. عدد احاطه‌اي هم-رومي گراف G كه با نماد γ_cr G) نمايش داده‌ مي‌شود، كمترين وزن در بين تمامي توابع احاطه‌گر هم-رومي گراف G مي‌باشد. در اين مقاله، ابتدا يك كران بالا براي عدد احاطه‌اي هم-رومي درخت‌ها برحسب تعداد رئوس، تعداد برگ‌ها و تعداد رئوس تكيه‌گاه درخت T ارائه مي‌كنيم. همچنين ما كران‌هايي براي عدد احاطه‌اي هم-رومي يك درخت برحسب مرتبه‌ و ساير پارامترهاي احاطه‌اي آن به‌دست مي‌آوريم.

Let G=(V,E) be a graph and let f:V(G)→{0,1,2} be a function. A vertex v is protected with respect to f, if f(v)>0 or f(v)=0 and v is adjacent to a vertex of positive weight. The function f is a co-Roman dominating function, abbreviated CRDF if: (i) every vertex in V is protected, and (ii) each u∈V with positive weight has a neighbor v∈V with f(v)=0 such that the function f_uv:V→{0,1,2}, defined by f_uv (v)=1, f_uv (u)=f(u)-1 and f_uv (x)=f(x)for x∈V-/{v,u}, has no unprotected vertex. The weight of f is ω(f)=∑_(v∈V)〖f(v)〗. The co-Roman domination number of a graph G , denoted by γ_cr G), is the minimum weight of a co-Roman dominating function on G . In this paper, we first present an upper bound on the co-Roman domination number of trees in terms of order, the number of leaves and supports. Then we find bounds on the co-Roman domination number of a graph and its other dominating parameters .