مدول كانوني نيم گروه هاي آفين كوهن- مكالي

Canonical module of Cohen-Macaulay affine semigroup

فرض كنيم Sيك نيم گروه آفين سادكي از فضاي 𝑟 بعدي N^r، وR=K[S] حلقه متناظر با آن باشند. در نتيجه R يك حلقه نوتري با بعد كرول 𝑟 است. در حالتr=1 ، S يك نيم گروه عددي وR حلقه اي كوهن-مكالي است. در اين هنگام، هر مجموعه اَپري 𝑆 متناهي است و تعداد اعضاي ماكسيمال آن نسبت به رابطه ترتيب جزئي ≼_S ، با نوع حلقه 𝑅 برابر است. در حالت كلي، اگر بعد نيم گروه بزرگتر از يك باشد، مجموعه هاي اَپري لزوماً متناهي نيستند. در اين مقاله، براي نيم گروه سادكي S ، r مجموعه اَپري معرفي مي‌كنيم كه اشتراك آن‌ها، AP(S)، مجموعه‌اي متناهي است و تعداد اعضاي ماكسيمال آن نسبت به رابطه ترتيب جزئي ≼_S، نوع حلقه R را مشخص مي‌كند. علاوه بر اين، مجموعه مولدي براي مدول كانوني حلقه R ارائه مي‌دهيم كه به راحتي قابل محاسبه است. در حالت نيم گروه‌هاي عددي، AP(S) با يك مجموعه اَپري برابر خواهد بود كه اين نتيجه، تعميم نتايج شناخته شده در حالت يك بعدي است.

Let S be a simplicial affine semigroup of dimension r and R=K[S] be the semigroup ring assigned to S, where K is a field. Then R is a Noetherian ring of krull dimension r. When r=1, S is a numerical semigroup whose assigned semigroup ring is a one dimensional Cohen-Macaulay ring. In this case, all each set of S is a finite set, and the number of its maximal elements with respect to the natural relation, is equal to the type of R. But in general, when r>1, the Apery sets of S are not necessarily finite. In this paper, we introduce r Apery sets of S whose intersection is a finite set and determines the type and the canonical module of R. This set coincides with an Apery set, when r=1. In particular, we extend the known facts about canonical module of numerical semigroups to all Cohen-Macaulay simplicial affine semigroups.